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et d’im ensemble clairsemé, [)i'oposition doiit on tronvera mie autre 
démonstration dans Ie mémoire rappelé plns liant. 
II nons sei-a connnode, avant d’aller poiu' loin, de considérer la 
fainille d’enseinbles ferniés ainsi détinie. Si n est de premièi’e 
espèce, est identiqne a Si n est de seconde espèce, /C 
I est renseinble coinmnn a tous les ensembles K.jj d’indice u' infé- 
1 rieur a n. 
1 Nons désignons la totalité de l’espace par /v^o, et /i" facnltativement 
I par E^. Je dis qne Ej. est l’ensemble coinmnn a E et a Kj.. 
1 Pour n=\, est Ie dérivé de E^,, ensemble identiqne a E, et 
I est bien l’ensemble commnn a E et a K^. Snpposons la propo- 
sition vraie pour u' e, et montrons-la pour n. Si n est de première 
espèce, alors par détinition, d’nue jiart A’a est Ie dérivé de i, 
d’autre part, est l’ensemble r,*ommnn a E^^x et a son dérivé, 
donc a Ey__x et a /C— i- Or, par livpotlièse, E^_x est rensemble 
commnn a et a /va-i- Donc, E^ est rensemble commnn a E, 
1 a Ka-\ et a /t«. /é« élant Ie dérivé de £’„_!, contenu par liy potlièse 
I dans rensemble fermé /C— i, Ka est contenu dans Donc, Ea est 
I rensemble commnn a -E' et a Ka- 
I Si tt est de seconde espèce, est par délinition l’ensemble commnn 
i a tous les E^; d’indices inférieurs a n, donc d’après notre hjpotlièse, 
i Ea est l’ensemble commnn a Ai' et a tous les /v; donc, a .E et A 
Ka, si Ka est l’ensemble commnn aux Ka'- La propriété est donc 
I démontrée dans tous les cas. 
I Dans Ie cas oü existe, pour /I <^ /?, avec E '^5 =r 0, alors /iq 9 '-pi 
j existe et est nul. Si /I est de première espèce, faisons 
j d' = d — 1- existe. Si /I est de seconde espèce, comme tous les 
j K^' existent, il en est de même de /vg. Donc si E est clairsemé. 
I il existe un nombre /? tel que K(i existe, E possédant sur K(i un 
I nombre fini on nul de points. 
Nons allons donner une propriété caractéristique des ensembles 
clairsemés, propriété qui montrera Ie parti qu’ils olfrent dans les 
applications a la théorie des fonctions. 
Théorème. — La condition nécessaire et sufjisante pour qu’il soit 
possible d’affecter a chaqiie point M d’un ensemble E, un ensemble 
propre 1{M) auquel M soit intérieur, de maniere qu’aucun point de 
l’espace ne soit intérieur a une infinité d’ ensembles 1{M), est que 
l’ensemble E soit clairsemé. 
V La condition est nécessaire. En effet, si E n’est pas clairsemé, 
il contient un ensemble dense en lui-même F. Soit F Ie dérivé de 
F. F est parfait. Tont point 31^ de F est intérieur a un ensemble 
I{M3- On sait alors qu’il existe un ensemble R partout dense sur 
