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P et dont cliaque pointest intérieur a iine irifinité de 1{M^) (voir Ie 
méinoire cité plus Iiaut). Le complémentaire de R relativement a P 
est formé par la réunion d’une infinité dénombrable d’ensembles non 
denses sur P. R est ce que j’ai proposé d’appeler un r'ésiduel de P. 
La condition énoncée est donc nécessaire. 
2“. La condition est suffisante. Supposons que E soit clairsemé. 
E est donc dénombrable. Car, l’ensemble Q des points au voisinage 
desquels un ensemble D est non dénombrable, est parfait, et D est 
partout dense sur Q. Cela posé, nous envisageons pour un point 
quelconque M de E, deux sortes de rangs. D’abord, jE étant dénom- 
brable, nous pouvons attribuer èi M un rang entier propre n. D'autre 
part, dans la suite des ensembles Ea , formée comme il a été expliqué, 
considérons ceux de ces ensembles qui ne contiennent pas M. L’un 
d’eux a un rang inférieur a tous les autres, soit y ce rang. y ne peut 
pas étre un nombre de seconde espèce. Car Ji, étant silué dans jË"/ , 
quelque soit y' <] 7, serait dans E-^ , si y était de seconde espèce. On 
peut donc poser y = tf -f- 1 . J/ est dans Es, mais non pas dans Esj^i. 
Donc, M est dans Es mais n’en est pas point limite. M est un 
point isolé de Es. Cela étant, (p{n) étant une fonction quelconque 
de n tendant vers 0 quatid n croit, nous prenons pour 1{M) un 
intervalle ou eerde ou sphère, . . . ayant pour centre M et un 
rayon r{M) inférieur d’une part a fpn), d’autre part a la distance 
de M k E's = Ks^\- 
Je dis qu’un point quelconque JS' de l’espace n’est intérieur qu’a 
un nombre limité d’enserables I[M). En effet, si N était intérieur 
a une infinité de tels ensembles 1{M), soient . . ., Md), . . . 
les centres de ces ensembles, . . ., dp , ... les ordres analogues 
a B correspondant a ces divez’S points, Wj, n,, . . . Up, . . . leurs rangs 
dans le premier classement des M en série unilinéaire, et enfin 
Tp le rayon de /[ü/bO], Puisque les sont .distincis, Up croit 
indéfiniment avec />, donc Vp <finE) tend vers 0, donc N est point 
limite des Md). 
Parmi les nombres transfiids óp, il y en a au moins un, soit cT, 
auquel nul autre n’est inférieur. On a dp^B pour toute valeur de 
p, l’égalité étant réalisée pour au moins une valeur de p. Donc, 
au moins un point Ms de Es est dans la suite M'i’). D’ailleurs Es 
contient Esp, donc Md), quelque soit p. Donc, est un point limite 
de Es. Mais ceci est irn possi ble, puisque I{3Ps) contiendrait JSf et 
que, par hypothèse J{Ms) ne contient aucun point de E's. La con- 
dition est donc suffisante. 
Soit E un ensemble fermé. Supposons d’abord que H n’ait pas 
