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i de point commnn avec = E' . Alors, il n’y a évideinment qn’uii 
norabre fini d’ensembles I{M) contenaiit a leur intérieur au moins 
un point de H. On voit en effet comnie ei-dessus, qne si ces poinis 
1 étaient en infinité, cliacnn de lenrs points limites serait snr H, • 
i puisqu’il n’y a qii’iin nonibre liinité d’ensernbles I{M) don t Ie rayon 
j surpasse un norabre positif donné. Si donc H est distinct de E' 
dérivé de E, nous abontissons a une contradiction. 
■ Plus généralenient, si V ensemhie ferme H est sihié sur Ka et s’il 
i 7ia pas de point conimun avec /C+i, H n’existe qii’un nombre limité 
d’ eiisemhies I{M) conteiumt a leur intérieur au nwhis un point de H. 
I En effet, si ^ a, a tout point M de Eji correspond un ensemble 
i I{M) sans points conmiuns avec U, puisque ./(il/) n’a pas de point 
i commun avec qui contient Ka et par suite H. Donc, 
! les seuls points Al dont les ensembles / (il/) peuvent contenir au 
j moins un point de H sont les points AI de Ea- Comme H est sans 
I point commun avec Ka-\-\ dérivé de Ea, nous sommes ramenés au 
I premier cas. L’extension du tbéorème est démontrée. 
’ Voici une application de Ia proposition ci-dessus a la théorie 
! des fonctions. Désignons par f {AI) nne fonction des coordonnées 
: x,y,...u d’un point AI de l’espace, et par /(il/ — il./,) la fonction 
I f {x — x^,y — y^,..,u — n,). Soit /n (il/) une fonction hornée a 1’ exté- 
rieur de toute sphere aynnt pour centre l’oriyine 0 des coordormées, 
et telle que \fn{AI)\ croit indéfniment quand AI tend indif ér eminent 
I vers 0 (sans coïncider avec 0). Aloi'S: 
; La condition nécessaire et suff santé pour quéil existe des coefficients 
«„ indépendants de AI et tels que la série «„fi (^1/ — AI,,) soit partout 
1 convergente, est que l’ensemble AI,, soit cJairsenié. 
La condition est nécessaire. En effet, si l’ensemble E des points 
I Hn n’est pas clairsemé, supposons donnée une suite quelconque de 
I coefticients D’après lim\fn{AI)\ = co quand AI tend indifférem- 
! ment vers 0, n restant itivariable, il existe une sphère ayant son 
I centre a l’origine et en tout point de laquelle | /„(il/) | ^ Soit 
r'n Ie rayon de cette spbère. Entourons ü/,, d’une sphère i'» de rayon 
r'n. L’ensemble Aln n’étant pas clairsemé, il y a des points de 
l’espace intérieurs a une intinité de splières Pour cliacun de ces 
points JSI, la série (tnfn{N — AI„) est divergente comme ayant une 
intinité de tenues supérieurs a 1 en valeur absolue. 
La condition est suffisante. En effet, si E est clairsemé, Jious 
pouvons autour de il/„ décrire une sphère /„ de centre AI,, et de 
rayon r„ telle que tout point de l’espace ne soit intérieur qu’èi un 
