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nombre fini de splières 7„. Soit, hoi'S de la sphère de centre 0 et I 
de rayon p,, Ie maximum de existe, puisque par j 
hy[)otlièse | ƒ„ (il/) | est borné a Textérieiir de toute sphère ayant ! 
son centre a 1’origine. Soit a„ un nombre quelconque inférieur en i 
module a r. La série anfn {M — M„) converge en tout point 1 
n’ ' I 
31, comme n’ayant qu’un nombre limité de termes supérieurs en j 
, . 1 I 
module aux termes de même rangs de la serie — . 
n’ 
On montre aisément que la série ((nfn{3£ — 3'I,l) converge unifor- 
mément sur tout ensemble ferme H sans points communs avec E' ou 
plus généralement sur tout ensemble fermé contenu dans Ka et 
n’agant aucun point commun avec /ia-j-i- En effet, il n’y a qu’un 
nombre limité d’ensembles lu contenant des points d’un tel ensemble 
H. Donc, è pai'tir d’un certain rang N, Ie terme de la série 
est inférieur a — en tous les points de H, quelque soit n'f> JK. \ 
n’ j 
Supposons que fn{3i) soit la sonime d'une série j 
Un. 1 + Mn. 2 {M) -!-•••• + Mn. p [M) -f- . . , . 
uniforinément convergente et h termes bornés {chacun séparément) a 
V extérieur de toute sphère ayant son centre a 1’origine. Alors, a l’exté- j 
rieur d’une telle sphère ayant Ie rayon r„ défini plus haut, les j 
sommes 
Mn.p {M) Un .yy-j-l {M) 4" . . • • 4“ Un.q (14) | 
sont, indépendamrnent de p, de q et de 31, bornées en module par j 
un même nombre • (en particulier, avec q—p, \ un.p{31)\ <éXn). 1 
Soit n,i un nombre de module inférieur è Je (\\\’ en ajoutant j 
n I 
par colonnes les séries «„/„(üi — 3£n), nous obtenons une série i 
10, (M) 4- (M) + . .4- ^4, (Al) + , 
convergente en tout point 31. En effet, on a : 
lOp {M) = «, ui.p {M-M,) + «j U2.p (M—M3 4- • • f «n M„.p {M—Mn) -f . 
La série Wj,{3d) est convergente pnisque, 31 n’étant intérieur qu’a 
un nombre limité de splières la série iv^, (31) n’a qu’un nombre 
limité de termes supérieurs en valeur absolue a l’inverse du carré 
de leur rang. 
Soit f un nombre positif. Nous voulons prouver que, 31 étant 
choisi, il est possible de déterminer ]K„ de fa^on que | ?Cp_|_i (3f) -j- 
-f- • • • + {3f) I p quelque soit p et quelque soit q. 
