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Donc, la soinme des termes correspondaiits k n ni, n •^N' est 
inférieure, si p'^ k - S ~ Donc, si 7V„ est Ie plus 
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grand des deux noinbres et la condition p > entraine : 
I 10 1,^1 {M) ^ •+ XOi^^q {M) 1 < f, 
quelque soit q. La série ?a^,(il/) est donc partout convergente. 
Application, (pin) êinnt une fonction positive de Ventier n, jamais 
croissante, la série 
(p (1) sin d (2) sin 2 (9 -f- • • • + </ {n) sin n 6 , 
est cotivergente quelque soit 8. Soit f {8) sa somme. 8 f{8) tend 
vers 0 avec 8. Si la série n (p in) est divergente, ƒ (<9) n’est pas soni- 
mable et \f{8)\ croit indéfiniment avecy^. Soient une suite de 
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valeurs de 8 situées sur Ie segment ( — n, jr) et j formant un 
ensemble clairsemé quelconque. 
11 existe alors une suite de nombres positi/s tOn tels que, 
la série 
00 co 
r/) (l) a„i sm {8 — ) p ^ fp (n) 2 a„, sin 7i{8 — 8,n) + • • • • 
est convergente quelque soit 8. vSoit l"{8) sa soinme. 
J’ai défini sous Ie nom de totalisation un procédé d’intégration 
de certaines fonctions non sommables. La première condition remplie 
par les fonctions totalisables, — savoir que l’ensemble H des points 
d’un ensemble parfait P au voisinage desquels la fonction est 
non sommable sur P, H est non dense sur P, — cette condition 
est remplie par toutes les fonctions limites de fonctions continues, 
puisqiie, celles-ci étant ponctuellement discontinues, l’ensemble A’ des 
points de P au voisinage desquels Tune d’elles est non bornée sur 
P, K est non dense sur P. K contient évidemment H. 
A toute fonction limite de fonctions continues, on peut donc faire cor- 
respondre une suite d’ensembles parfaits A., P.^, . . , A«, . . , correspon- 
dants aux divers nombres ordinaux des classes I et II. Par définition, 
si a est de première espèce, P^ est Ie noyau parfait de l’ensemble 
fermé constitué par les [loints de Pa-\ au voisinage desquels ƒ est 
non sommable sur Pa—\. Si u est de seconde espèce, A» est Ie plus 
grand ensemble parfait commun è, tous les A»' quand «' u. Si 
Q. j, est Tensemble des points de A« au voisinage desquels A» est de 
mesure [lositive (on épais), Aa_|_i est l’ensemble des points de Qa au 
voisinage desquels f est non sommable sur (3a- Donc, Aa_pi est non 
