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dense sur et a fortiori sur Donc, tous les /^a sont nuls k 
partir d’iin certain rang, 
Etant donnée inversement uiie suite quelconque d’eiiseinbles par- 
faits Pa., telle qne 1°. Pa soit eontenu dans 1’ensenible Qa des points 
OU Pa est épais, et soit non dense sur Qa, et qne, 2”. si a est de 
seconde espèce. Pa soit Ie plus grand ensemble parfait eominun a 
tous les Pa' si «' «, il est eurieux de constater qu’il est possible 
de former iine série frigouométrique convergente F [8] telle qne 
rensemble des points de uon sommabilité de F{0) sur Ie continu 
ait ponr dérivé d’ordre Fl, précisément P^ et qne la suite d’ensembles 
parfaits relative a F{0) et déterminée par la [tremière o[)éralion 
du caicul totalisant, soit précisément la suite Pa- 
En effet, considérons l’eiisemble E formé de la rénnion des ensem- 
bles Fa suivants. est constitué par les milienx des intervalles 
contigus a Pj. Pour Fa, nous considérons les intervalles contigus a 
Parmi ces intervalles contigus, désignons par ia cenx qni con- 
tiennent des points de Qa- Pnisqne Pa-\-\, situé sur Qa , est non dense 
sur Qa , tont point de P«-|_i est limite d’intervalles la. Or, sur chaque 
intervalle 4 , Qa a nne mesure positive, puisque Qa possède cette 
propriété au voisinage de cbacun de ses points, et qu’il en existe 
dans ia- Soit, dans chaque 4 , un point Na oh l’épaisseur de Qa est 
égale a 1. La rénnion de tous les Na, pour une valeur donnée de « 
est un ensemble Fa situé sur Qa , et possédant im point et nu seul 
dans chacnn des contigus de Fa a pour dérivé Pa_|_i. Psera 
par définition l’ensemble de tous les Fa. 
II est aisé de voir qne rensemble Fa est formé par tous les P> 
de rangs supérieurs on égal a a. 
E est donc clairsemé puisque. Pa étant tinl a partir d’nne 
certaine valenr de «, il en est de même des F\ et [)ar suite aussi 
de Fa- 
Formons avec les points Mn on dn de Pla série trigonométriqne F {&) 
définie plus bant. Ponr nn segment o, saus points commnns avec 
P, + Pi> donc situé a une distance positive de E, il n’existe qu’nn 
nombre limité d’intervalles /„ empiétaut sur o,. La série — <9„) 
est donc uniformément convei’gente sur o,. Donc elle est continue 
et par suite sommable sur o,. 
Si contient un point N^ et nul point de P^, soit p Ie rang du 
point N^ dans la suite F{6) — est continue sur o,. 
Comme f{8 — df est non sommable antonr de 8^, F est non sorn- 
inable sur o,. Donc, les sont les senis points de non-sommabilité 
étrangers a P^. Comme l’ensemble des points de non-sommabilité est 
fermé, et qne Ie dérivé des N^ est P^, eet ensemble est IJTV^-j-P, . 
