Wiskunde. — De Heer Brouwer biedt een mededeeling aan : „Ower 
éénéémiuidige, continue transformaties van oppervlaklen in 
zichzelf” . (Zesde mededeeling) ‘). 
(Medegedeeld in de vergadering van 27 Maart 1920). 
De opsomming aller transformatieklassen, die in de vijfde mede- 
deeling over dit onderwerp voor den bol is verricht, zal hier worden 
uitgevoerd voor het projectieve vlak. 
Zij t een eenduidige continue transformatie van het projectieve 
vlak Tl in zichzelf, /: een eenzijdige enkelvoudige gesloten kromme 
van TT., h de verdubbeling van k, G het in jt door k omsloten twee- 
zijdige gebied, k' het beeld van k voor t. We zullen t van de eerste 
of van de tweede soort noemen, naarmate k' eenzijdig of tweezijdig 
is. Een transformatie van de eerste en een van de tweede soort 
kunnen klaarblijkelijk nimmer tot dezelfde klasse behooren. 
§ 1. De transformatieklassen der eerste soort. 
Zij T een der beide door t bepaalde afbeeldingen van G h op 
de tweezijdige verdubbeling d van jt, G' resp. h' het beeld van G 
resp. h voor T, I de in houd van /i voor een bepaalde elliptische 
metriek van .t. Als we dan G en ^ van passende indicatrices voor- 
zien, is de totale inhoud van G' (d.w.z. de inlioud van een wille- 
keurige simpliciale approximeering van G') gelijk aan — ƒ, 
waarin n een niet-negatief geheel getal is, dat we den graad van t 
zullen noemen. Alle transformaties der eerste soort, die tot dezelfde 
klasse behooren, bezitten klaarblijkelijk denzelfden graad. 
Om ook de omgekeerde stelling te bewijzen, zullen we twee 
methodes aangeven, waarvan de eerste het gestelde tot het resultaat 
der vijfde mededeeling over dit onderwei-p terngbrengt, de tweede 
met den bewijsgang dier mededeeling parallel loopt. 
Eerste methode. We construeeren in G een enkelvoudige gesloten 
kromme i\ en een daarbitinen gelegen enkelvoudige gesloten kromme?-,, 
verstaan onder G^ het binnengebied van onder G^ het tusschen- 
M Vgl. deze Verslagen XVII, p. 741; XVIII, p. 106; XIX, p. 737; XX, p. 24; 
XXI, p. 300 (1909—1912). 
