1189 
een enkel punt reduceert, zullen we t een in k gecontraheerde trant;- 
forinaüe noemen, en wel in liet h'\.]zoi\AQY Qtw enkelvoudige even resp. 
oneven in k gecontraheerde transfonnatie, iiulien d voor T door (V 
met den graad 0 resp. met den graad 1 wordt bedekt. Op grond 
van de vijfde mededeeling over dit onderwerp hehooren dan alle 
enkelvoudige in k gecontraheerde tra?isfonnaties van dezelfde pariteit 
tot dezelfde klasse. 
We zullen nu verder bewijzen, dat alle transformaties der tweede 
soort van dezelfde pariteit tot dezelfde klasse hehooren, en wel door 
een willekeurige transformatie t der tweede soort aan een continue 
wijziging te onderwerpen, die haar ten slotte in een enkelvoudige in 
k gecontraheerde transformatie overvoert. Hiertoe wijzigen we t eerst 
tot een in k gecontraheerde transformatie, zoodat het beeld h' van h 
voor T in een enkel punt P van d overgaat en d voor 7' door iy 
met een zekeren graad m wordt bedekt. Noemen we Q het tegenjiunt 
van P op d 611 vervormen we ^ zoodanig, dat /<' achtereenvolgens alle 
liggingen van tweemaal doorloopen breedtecirkels tusschen P en Q 
verkrijgt, om zich ten slotte in Q samen te trekken, dan kunnen 
we zorgen, dat na deze vei-vorming d voor T door d naar ver- 
kiezing met den graad m -j- 2 of met den graad m — 2 wordt be- 
dekt. Door passende herhaling van dit proces kunnen we derhalve 
aan t de gedaante eener enkelvoudige in k gecontraheerde transfor- 
matie geven. 
§ 3. Het mininiuni-aantal invariante punten. 
Daar met een eenduidige continue transformatie van .t in zichzelf 
twee eenduidige continue transformaties van d zichzelf correspon- 
deeren, die niet beide den graad — 1 kunnen bezitten, dus niet 
beide vrij van invariante punten kunnen zijn f, bezit een eenduidige 
continue transformatie van het projectieve vlak ji in zichzelf minstens 
één invariant punt. 
Dat andererzijds voor geen enkele tran.sforniatieklas.se van jt het 
minimum-aantal invariante punten sneer dan 1 bedraagt blijkt 
voor de klasse der eerste soort van den graad n uit de transformatie : 
I tg t|/ = +cos(f 
I </>' = (2n + 1 ) f/>, 
h Vgl. Math. Annalen 71, p. 114. 
2) Voor de oplossing van het analoge probleem voor den bol en de beide ring. 
oppervlakken vgl. mijn in aansluiting aan een opstel van J. Nielsen in Math. 
Annalen 81 verschijnend artikel; „Ueber die Minima, Izahl der Fixpimkte beiden 
Klassen von emdeutigesi stetigen Transformationen der Ringfiachen" . 
