Wiskunde. — De Heer Brouwer biedt eene mededeeling aan van 
Prof. ScHOENELiES te Frankfurt a. M. : „Zur Axiomatik der 
Mengenlehre (erste Mitteilung)”. 
(Mede aangeboden door den Heer Hendrik de Vries). 
Die Hilbertsche Griindlegung der Geometrie darf ftir alle analogen 
Untersuchnngen als vorbildlicli geiten. Zwei ilirer Eigenschaften sind 
es, anf die es hier ankommt. Ersfens wird von allen sprachlichen 
Definitionen der Objecte, init denen sie operiert, wie Punkt, Gerade, 
zwischen n.s.w. abgesehen; nnr ihre gegenseitigen Beziehnngen nnd 
deren Grundgesetze werden axiomatisch an die Spitze gestellt ’). 
Zweitens werden die Axiome in verschiedene Griippen gewisser 
Eigenart und Tragweile gespalten (die des Schneidens and Verbin- 
dens, die Axiome der Ordniing, der Kongruenz ii.s.w.), iind es ist 
eine wesentliche Anfgabe des axiomatischen Aufbanes, zu prüfen, 
bis zu welchen Resultaten eine einzelne oder mehrere dieser Gruppen 
für sich führen. Die gleiche Behandlung eignet sich fiir die Mengen- 
lehre. Von sprachlicher Einführung der Begriffe Menge, Bereich 
u.s.w. ist daher ebenso abzusehen, wie von der des Punktes oder 
Raurnes. Ebenso kann man hier gewisse Axiomgruppen nnterscheiden, 
die Axiome der Aequivalenz, die Axiome der Ordnung u.s.w. und 
kann die gleichen Fragen stellen, wie im Gebiet der Geometrie. 
Dies soll im Folgenden geschehen, und zwar für denjenigen Teil, der 
nur mit der Aeqiiivalenz der Mengen, der Mengenteilung und Men- 
genverbindung, sowie der Mengenvergleichung operiert. 
Will man die Probleme der Mengenlehre einer derartigen Behand- 
lung unterwerfen, so ist es oberstes Erfordernis, die Begriffe der 
endlichen und der unendlichen Menge auf einer Grundlage einzu- 
führen, die nur die ebengenannten Fundamenlalbegriffe benutzt. 
Solche Detinitionen sind ja in der Dedekindschen Begriffsbestimmiing 
vorhanden : Eine Menge M heisst unendlich, wenn es eine (iichte) 
Teilmenge M' von M giebt, die aequivalent Ai ist; sie heisst endlich. 
Der Euklidische Aufbau beginnt noch mit den Worten; Ein Punkt ist, was 
keine Teile bat. Eine Linie ist eine Lange oline Breite usw. In dein Verzicht auf 
alle solchen sprachlichen Begriffshestimmungen liegt einer der wesentlichen 
Hilbertschen, und durch ihn modern gewordenen Gedanken. Die Mengenlehre ha' 
sich ibm bisher nicht erschlossen. 
