832 
wenii es eine solche Teilmenge niclit giebt. Sie haben daher den 
aUeinigen Ausgangspunkt zu bilden. 
Die [listorische Entwickeluiig der Mengeidehre ist freilich wesent- 
lich anders vor sich gegangen. Wiitirend vorstehend die unendliche 
Menge als das logisch positiv bestitninte Object erscheint, nnd die 
endliche Menge als ilir logisches Gegenteil, ist die historische Ent- 
wickelnng ningekehrt von den endlichen Mengen als wohlbekannten 
inatheniatischen Objecten ansgegangen, nnd hat die nnendlichen 
Mengen als Oegensatz der endlichen Mengen eingeführt. Der so 
benutzte Begriff der endlichen Mengen gehort aber bei'eits einern 
Gebiet an, das sich nicht mehr ansschliesslich an die Aeqnivalenz- 
beziehnngen anschliessr. Der historisch überkoininene Begriff der 
endlichen 'Menge rnht ja überhaupt nicht auf axioinatischer Grnnd- 
lage. Mag man ihn sprachlich oder empirisch oder anschanlich 
antfassen, er war im wesentlichen an der Hand des Zahlb'egi'iffs 
entstanden nnd rnht jedenfalls auf Voraussetzungen, in die auch die 
Ordnung als Grundbegriff eingeht. Diese gehort aber bereits einer 
Begritfsgruppe an, von der hier abzusehen ist. So laufen in der 
historischeti Entwickelung der Mejigenlehre zwei wesentlich verschie- 
dene Bestimmungen der endlichen und nnendlichen Mengen unver- 
mittelt neben einander her und erschweren infolgedessen die Frage 
nach dem, was den einzelnen Satzen axiomatisch zu Grimde liegt. 
Auch insofern ist eine Klarung des Sachverhalts wünschenswert. 
Das Resultat erweist sich in zwei Punkten als durchaus eigenartig. 
Die Vergleichung der Mengen bezüglich ihres Grössencharacters ist 
namlich nichts, was dem Mengen begriff allein eigentümlich ist; sie 
betritft allgemeiner alle Ohjecte, für die man das Game und den 
Bestandteil unterscheiden kann. Die Axiomatik, die hier entwickelt 
wird, ist also richtiger eine Axiomatik der Gröszenlehre, und zwar 
in dem besonderen Fall, dass es auch Grossen von unendliclum 
Character giebt. Dies bedingt, dass die Eleniente der Mengen im 
Folgenden gar nicht henutzt toerden-, immer nur bilden die an sich 
möglichen Beziehungen zwischen den Ganzen und ihren Teilen den 
Gegenstand der Untersuchung. Deren auf axiomatischer Grundlage 
ruhetide, umfassende Erörterung bildet den eigentlichen Inhalt der 
Arbeit. Ich habe aber doch die gewohnten Mengenbezeichnungen 
beibehalten. Für die Elemente der Mengeti wird erst am Schluss 
eine auf den Begriff der Teilmenge sich stützende Einführungs- 
raöglichkeit gezeigt. Sie erscheinen als solche Teilmengen, die selbst 
nicht weiter in Teilmengen zerlegbar sind (gleichsam als die Atorae). 
Eine zweite Eigenart der Untersuchung betritft die logischen Not- 
wendigkeiten, die der axiomatische Aufbau dieses besondern Gebietes 
