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verlangt. Au8ser den selbstverstandlichen axiomatischen Festsetzungen 
über die Regeln, nacli denen rnaii niit den BegrilFen der Aeqnivalenz, 
der Teilniengen usw. zu operieren liat, treten auch noch Annahmen 
auf, die man vvohl nicht erwarten mag. Bei ihrer Einführung handelt 
es sich aber — und darin besteht die genannte Eigenart — weniger 
urn spezifisch mathematisclie Notwendigkeiten, als vielmehi- nm rein 
logische-, also urn Festsetzungen, die deshalb notig sind, weil man 
ohne sie — ■ um welches wissenschaftliche Gebiet es sich handeln 
aiag — ans den in F'rage stellenden Voraussetznngen Schliisse über- 
haupt nicht ahleiten kann. Ein allgemeiner Grnndsalz der Logik 
lautet: E mere negativis nihil sequitur; d.h. aus lanter negativen 
Pramissen kann eine Folgernng nicht gezogen werden. Aus den Satzen 
kein '31 ist ein 33, kein ist ein € 
lasst sich in der Tat eine Beziehnng zwischen '31 und (i nicht ent- 
nehraen ; und ebensowenig gestatten die Satze 
kein 33 ist ein '31, kein ist ein 31 
eine Beziehung zwischen ^ und S ’). Gerade solche Pramissen sind 
es aber, die uns bei den mengentheoretischen Problemen mehrfach 
begegnen, und deshalb der Einführung einer zwischen 31 und oder 
zwischen -35 und ti vorhandenen Beziehung den Stempel der axio- 
matischen Notwendigkeit anfdrücken. 
! 
I § 1. Die Aequivalenz. 
I Die mathematischen Objecte, von denen im Folgenden die Rede 
i sein wird, heissen Mengen (Teilniengen, Verbind ungsmengen). Alle 
I sollen denselben Aequivalenzbeziehungen gehorchen, die wir als 
Axioine der Aequivalenz einführen. Sie lauten : Sind il/, iV, P 
verschiedene Mengen, so gilt 
I. Aus M ~ N folgl M. 
II. Aus M^JSr und P folgt M — P. 
b Aus den Vordersatzen 
Ü ist nicht ib Ü ist nicht ti 
kann freilich in gewissen Fallen doch eine positive Folgei ung gezogen werden und 
zwaf für '’l selbst. Nanilich dann, weun man eine zwischen *13 und G bestellende 
positive Beziehung kennt. Aus den Satzen : 
Das Dreieck T ist niclit spitzwinklig und 
Das Dreieck X' ist nicht stumpfwinklig 
folgt, dass X' rechtwinklig ist. Hier liegen nanilich nur scheinbar ausschliesslich 
negative Pramissen vor ; zu ihnen kommt als positive der Satz: Jedes Dreieck ist 
entweder spitzwinklig oder stumpfwinklig oder rechtwinklig. Vgl. auch die Anmer- 
kung auf S. 839. 
