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Der Aeqiiivalenzbegriff hat also sowolil koinmutativen, wie auch 
assoziativen Character. 
Ans diesen Axiomen folgt ; 
1. Ans M N nnd N nicht ~ P folgt M nicht ^ P. Denn 
ware M P, so würde daraus in Verbindnng mit ^ ~ gemass 
I weiter JSh ~ P folgen, iin Gegensatz znr Voraussetznng. 
Die Axionie I n. II zeigen, dass sie die Ausdehnung auf den Fall 
zolassen, dass M nnd IP dieselbe Menge bedenten. Wir fügen also 
als weiteres Axiom binzn 
III. Es ist JP— M. 
^ 2. Teihnengen und Verhindungsmengen. 
Ist M' Teilmenge von M, so soll dies dnrch 
M' t M 
bezeiclinet werden. Wir nelimen dnrcbweg an, dass M' von M 
verschieden ist, nnd nennen insofern M' ancli aclite oder eigentliche 
Teilmenge von M. 
Für die Teil mengen sollen folgende Axiome geiten {Axiome der 
Teihnengen ) : 
I. Ans M' t M nnd M" t AT folgt M" i 3T \ 
II. Jede Teilmenge ilP von M bestimmt eindentig eine zweite Teil- | 
menge von AI, die ilire Komplenientarmenge bezüglich AP lieisst. j 
III. Die Komplenientarmenge von T/, ist wiedernm AT. * 
Wir dürfen dalier folgende Bezeichnnngen einfnliren. Wir sclireiben | 
ATkAI’ res{). 3d' k AT und setzen dem gemass (111) in die Form j 
lir. Ans AI^kAT folgt AP' k AP^’t | 
För die Beziehnng von 3P^ nnd AP' znr Menge M selbst sclireiben wir I 
M = {M^,AT) — {M\3T), I 
nnd sagen, dass AP in die Teilmengen AP' nnd AP^ zerfallt. Zusarn- j 
menfassend können wir also sagen : j 
Ans AT t Al folgt AP, t Al, Al, k AP', AT k Al„ A'P = {AT, Al,). ' 
Seien min AP nnd N zwei Mengen, so können bezüglich ihrer j 
Teilmengen zwei Falie eintreten. Bntweder gibt es für AP nnd N \ 
identische Teilmengen, oder es giebt keine solchen Teilmengen.. In j 
diesem Fall nennen wir die Mengen fvenid zn einander, oder kurz | 
fremd, nnd sclireiben 
Al f N resp. N f Al. 
Für fremde Mengen gilt der Satz : 
\. Sind AP nnd N fremde Mengen, so ist anch jede Teilmenge 
von AP zn jeder Teilmenge von N fremd; d. Ii. 
