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Aus M fJSf, M' tM, tN folgt AI' fN'. 
Waren nanilicli die Teil mengen AI' nnd JSf' nicht frenid, nnd ist 
P eine in beiden enthaltene Teil menge, so batte man 
F t Al', Al' t AI nnd P t N', N' t Al, 
und daher genuiss I anch 
Pt Al und Pt Al, 
im Widerspriicli mit der Voranssetzung. 
la. Der Satz gilt aucli so, dass AP zu N selhst, luid ebenso N' 
zu M fremd ist. Der Beweis ist derselbe. 
Wir stellen weiter folgende Axiome anf; 
IV. Die beiden Komplementarmemjen AP und i)/j einer Alenge Al 
sind f remde Alengen-, d. h. 
Aus Al^k AP folgt Al^ fAl'. 
Diese Beziehimg soll aber aucli umgekelirt geiten ; zu diesem Zweek 
führen wir folgendes weitere Axiom ein {Axioni der Verbindungs- 
mengen). 
V. Zwei frenide Alengen N und P bestimmen eine und nur eine 
Alenge AI, deren Koniplementarniengen sie sind; d. li. 
Ans AP f P folgt N t AI, P t AI uud AP k P. 
Die Axiome IV und V lassen sicli also aucli so auffassen, dass die 
Bezieliungen AP k P und AP f P gieichwertig sind. Wir nennen 
die Menge {AP, P) die Verbindungsmenge von N und P. Es folgt 
noch 
2. Die Mengen N nnd P sind von ihrer Verbindungsmenge Al = 
(iY, P) verschieden. 
Demi da sie nach V Komplementarmengeii von AI sind, so ist 
jede eine ach te Teilmenge von Al. 
Die Menge {AP, P) hat ausser AI und P gemass Axiom I anch 
jede Teilmenge AP' und P' zu Teil mengen. Damit sind aber, wie 
wir durch ein weiteres Axiom festsetzen, nicht ihre samllichen 
Teilmeugen erschopft. Gemass Satz (J) uud (In) ist aucli AP' zu P' 
fremd, ebenso N' zu P und AP zu P' ; nach Axiom V giebt es 
daher je eine Menge 
(iV', P'), {N, P') uud {N' , P). 
Für sie setzen wir nun fest : 
VI. Ist AI = {AP,P) so sind auch die Mengen. 
(iV', P% {N', F), {A, F) 
Teilmengen von AI; es ist aber auch jede von AP, AI' P,P' ver- 
schiedene Teilmenge von dieser Form. 
Wir folgern hieraus den Satz: 
