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aus MdP und P d N wieder MdN 
luid au8 MdM und Af d P wieder AI d P 
folgt ; hier aber ist der widerspruclisfreie Cliaraeter evident. Also folgt: 
9. Alit den Beziehungen AfdN und JSFdP kann souwl die Beziehung 
AlaP, wie AldP zugleich besteken. 
Keine der beiden Annahinen y nnd d tnhrt also anf einen Wider- 
sprucli init den in («') entlialtenen Priiniissen ; wir kennen dalier 
anf dieseni Wege nielit zn einein Resnltat über die vorliegende 
Frage gelangen. Man mnss daher in der Tat die Folgernng, die sicli 
aus AldJSf nnd dSfdP ergiebt, axiomatisch einfuhren ; natnrgeinass so, 
wie es dnreh den realen Tatbestand der Mengeidehre gefordert wird. 
Ihn anfznbanen ist ja einer der Zwecke dieser Darstellung. Wirsetzen 
daher test {Axioin der Verknüpfung) 
II. Aus Aid N und N d P folgt AI d P. 
Hierans erhalten wir nnn leicht die Antwort anf die noch ans- 
stehenden Verknüpfnngen fiir die Beziehungen (A) nnd (Z?). Znnachst 
beweist man 
10. Aus Al h N nnd N d P folgt AI b P. 
10a. Aus Al c N und JSf d P folgt Al c P. 
Für den Beweis von (10) haben wir anszngehen von 
kein If, ^ N, ein N' ^ Al, 
kein ^ P, kein P, -- AP, 
und daraus die Beziehung A'IbP, also 
kein M^ ^ P, ein P' M 
abzuleiten. Wir folgern zunachst, dass eine Beziehung 
Jf" - P 
unmöglich ist. Aus JSf' ~ AI würde namlich anf Grund dieser Annahme 
die Fjxistenz einer Teilmenge N" folgen, für die 
N" - M" - P 
ware, im Widerspruch zu kein Jsf^'^P. Damit ist die Beziehung 
kein P erwiesen. Es ist jetzt noch zn zeigen, dass es ein 
P' AI giebt. Ware dies nicht der Fall, so bestande auf Grund 
des vorstehenden jetzt die Beziehung 
kein 1/, P, kein P, ^ Al, 
also die Relation AI d P, und zusaramen mit der voi-ausgesetzten 
Beziehung P d JSf folgte gemass Axiom II die Beziehung AI d Af, im 
Widerspruch zu AlbAf. Dannt ist der Beweis wieder geliefert. 
Ebenso wird der Beweis für AIcAf und Af d P gefühil, was einer 
ausführlichen Darstellung nicht bedarf. 
