34 
verder een punt rn gekozen, terwijl wij de maat van Gi door m,- 
zullen aanduiden. 
Zij f{ 7 ]) voor alle rj in Rn gedefinieerd ; zij p een willekeurig 
getal tu8schen 0 en 1, en zij gesteld 
9) ^ ^ rii) 
in de punten | met positieve coördinaten waarin het rechterlid be- 
teekenis heeft; de som wordt hierbij uitgestrekt over alle i, waar- 
voor elke coördinaat van p,- absoluut genomen grooter dan p is. In 
uitbreiding en met kleine wijziging van de door Prof. A. Denjoy *) 
gegeven integraaldefinitie (6’) zal ik zeggen dat /(fj) integreerbaar 
{€) is en dat de integraal de waarde / bezit, als de approximatieve 
limiet van cp {l) bestaat en een waarde / heeft, onafhankelijk van 
de keuze van p, het celiennet en de punten i],-. We schrijven dit: 
appr. Urn. (p (§) = ^ ; 
f = 0 
dit beteekent dat een meetbare verzameling V te vinden is, waarop 
lim. (p (§) = l, terwijl de dikte van Y in den oorsprong 1 is (hierbij 
f = o 
is iedere coördinaat van elk element van V positief verondersteld). Wij 
zeggen dat Y in den oorsprong een dikte d bezit, als bij elk positief 
getal e <^d een punt a met positieve coördinaten te vinden is, zóó- 
danig dat alle punten ^ in A de eigenschap bezitten dat de maat 
van de in B gelegen deelverzameling van Y tusschen {d — e)b en 
{d-\-é)b ligt. Dus Van belang hierbij is de volgende hulp- 
stelling, waarvan het door Prof. Denjoy *) voor de lineaire verzame- 
lingen gegeven bewijs onmiddellijk op meerdimensionale verzame- 
lingen uit te breiden is. 
Hulpstelling 1 : Als bij iedere positieve ^ 1 een pwit « met 
positieve coördinaten en een meetbare verzameling F te vinden is, 
voor elk punt S tvaarvan jp Y ) — /| <( <7 is, terwijl voor elk in A 
b Sur Vintégration riemannienne ; Gompies Rendus, 169, (1919); p. 219 — 221. 
Prof. Denjoy geeft de definitie alleen voor n = 1. De wijziging in de twee definities 
voor n = 1 bestaat hoofdzakelijk hierin, dat in de oorspronkelijke definitie de 
lengte van elk interval Gi kleiner dan 1 verondersteld wordt, terwijl boven slechts 
aangenomen wordt dat deze lengte gedeeld door den afstand van Gi tot den 
oorsprong voor t — » 00 tot nul nadert. Prof. Dënjoy geeft tegelijkertijd nog twee 
andere integraaldefinities, die hij met (A) en (B) aanduidt. De heer T. J. Boks 
bestudeert in zijn (nog niet gepubliceerd) proefschrift het integraalbegrip (B) en 
leidt de twee eigenschappen daarvan af, die overeenkomen met de eigenschappen 
1 en 2 van dit artikel. Vermoedelijk zal deze (Utrechtsche) dissertatie verschijnen 
in de Rendiconti di Palermo (1921). 
b Sur les fonctions dérivées sommaties, Bulletin de la Société Mathématique 
de France, tome 43 (1915); p. 161 — 248; verg. p. 165 — 168. 
