38 
van het door Prof. Denjoy uitgesproken vermoeden dat het nieuwe 
integraalbegrip reeds voor n = 1 algemeener is. 
Eigenschap 2: Als ƒ( — I) — — ƒ(») is, f{^) met positieve toenemende 
^ niet toeneemt, f{%) = 0 voor 'è'^1 en Urn. | ƒ (§) = 0 is, dan is 
ƒ (§ — 1) integreerbaar {€) en de integraal is 0. 
Aan het bewijs van deze eigenschap gaan twee hulpstellingen 
vooraf. 
Hulpstelling 3 : Als 0 g <[ 1 is en het segment Sj [j =1,2,. .) 
de7i oorsprong niet bevat, een punt met het segment éj gemeen 
heeft en een lengte ^ q bezit, waav'bij j> dj > 0 en 
Hm. - o verondersteld ivordt, dan heeft de door de seg- 
J=roo *^j — l 
me7ite7i Sj gevoi^mde verzameling in de7i oorsprong een dikte ^ q. 
Bewijs: We zullen aannemen dat dj voor ƒ -» od den oorsprong 
nadert, omdat de hulpstelling anders evident is. Zij § een willekeurig 
punt rechts van den oorsprong en zij u de kleinste waarde van j, 
waarvoor Sj het punt % of een punt links daarvan bevat. Dan is 
d„_i = d„ + (d„_i — du) ^ § + lengte Sa + (du_i — du), 
dus 
du_i^§ + (l + 9)K-i-^^«) (1) 
De tusschen den oorsprong en è gelegen deelverzameling der 
segmenten Sj heeft dus een maat, die na deeling door §, niet 
grooter is dan 
du— 1 ^ I /I I ^ du_i 
+ ?(1 + ?) • 1 
(2) 
Als § den oorsprong nadert, neemt u onbegrensd toe, nadert dus 
du — 1 ^ li 
tot nul, terwijl dan volgens (1) de onderste limiet van 
du— 1 
§ 
Y - — niet kleiner dan 1 is. De laatste term in (2) nadert dan tot 0, 
du— 1 
zoodat de dikte van de door de segmenten gevormde verzameling 
in den oorsprong ^ q is. 
Hulpstelling 4: Als Hm. 5/(§)== 0 is en aan elk 7'echts van den 
?=o 
oorspro7ig gelegen punt § een getal i toegevoegd ivordt, zoodanig dat 
1 . 
- in Gi oj op den rand daa7wan ligt, dan is 
appr. lim. ^mif{rii § — 1 ) = 0 . 
t=o 
Bewijs: Voor ^ ► 0 is ^ oo , dus volgens de aan het ceilennet 
opgelegde voorwaarde 
