43 
Het verschil der positieve getallen 1 — f en Qi$ — 1 is kleiner 
dan hun som ; /(?j) is absoluut 
=f(Qi^ — 1) — /(l— dus de absolute waarde van de laatste 
integraal is kleiner dan i{Qi — — 1) — — 1)! en de 
approximatieve limiet hiervan is volgens hulpstelling 3 gelijk aan 
nul. Blijkens (9) is dan ook de approximatieve limiet van 'ï>(^)voor 
♦■0 gelijk aan nul, waarmede de eigenschap 2 bewezen is. 
Deze eigenschap geeft meetbare functies, die wèl integreeibaar 
(C), maar niet sommeerbaar zijn. Deze functies zijn alle onbegrensd, 
zoowel aan den boven- als aan den onderkant. Dat dit ook nood- 
zakelijk is, blijkt uit: 
Eigenschap 3: Als een meetbare functie f (§) integreerbaar {€) en 
aan den boven- of aan den onderkant begrensd is, dan is die functie 
sommeerbaar. 
Bewijs-. Stel b.v. dat ƒ(§) aan den onderkant begrensd is; zij 
gesteld /’((§)=ƒ (^) of — t, al naar gelang /(§)^ of 'f> t is. De 
begrensde functie /t(§) is sommeerbaar, dus integreerbaar {C) en de 
integralen stemmen overeen. Zij deze gemeenschappelijke waarde 
St genoemd. Bij toenemende t neemt St niet af en uit ƒ< (^) ^ ƒ (§) 
volgt, dat Si niet grooter is dan de integraal {C) van /(£). De inte- 
gralen St zijn dus begrensd, waaruit volgt dat f{l) sommeerbaar is. 
Sommige eigenschappen, geldig bij de integralen van Lebesgue 
blijven gehandhaafd, andere niet. Uit eigenschap 2 b.v. blijkt dat 
de volgende twee eigenschappen der Lebesguesche integralen ver- 
loren gaan: Als een functie sommeerbaar is, is haar absolute waarde 
ook sommeerbaar. Als een functie sommeerbaar is over een verzame- 
ling, is ze ook sommeerbaar over iedere meetbare deelverzameling. 
Tot slot zullen we nog drie eigenschappen bespreken, die wèl 
blijven gelden. 
Eigenschap 4: Als een functie f{l) integreerbaar (C) is, vormen 
de punten waarin ƒ(§) oneindig groot is, een verzameling van de 
maat nul. 
Bewijs-. Wij zullen aantoonen, dat een functie met de eigenschap 
dat de punten §, waarbij de coördinaten positief zijn en /(§) on- 
eindig groot is, een verzameling E met positieve uitwendige maat 
vormen, niet integreerbaar {C) is; daarbij kunnen wij ons tot een 
zeer eenvoudig cellennet bepalen, n.1. tot het cellennet, waarvan 
iedere cel bestaat uit een w-dimensionalen cubus, waarvan de ribben 
de lengte 1 bezitten en evenwijdig aan de coördinaatassen loopen, 
terwijl het middelpunt van den cubus met een roosterpunt samen- 
valt. Op analoge wijze is elk der 2" — 1 andere deelen te behandelen, 
waarin Un door de coördinaatassen verdeeld wordt. 
