44 
Omdat de uitwendige maat van E positief is, bestaat een balk H, 
waarvan de coördinaten der hoekpunten positief zijn en de ribben 
evenwijdig aan de coördinaatassen loopen, terwijl een in H op 
positieven afstand van den rand gelegen deelverzameling D van E 
een positieve uitwendige maat bezit. Door zoo noodig den balk te 
vergrooten, kunnen wij er voor zorgen dat, als u en ^ de hoek- 
punten van H, resp. met de kleinste en met de grootste coördinaten 
voorstellen, de coördinaten van tweemaal zoo groot zijn als die 
van a. Zij nu de uitwendige maat van D gelijk aan tv maal den 
inhoud van den balk El. Als v de rij der punten doorloopt, wier 
coördinaten machten van 2 met geheele niet-negatieve exponenten 
tl 
zijn, dan vullen de balken — samen juist de puntverzameling B op. 
D H 
De verzameling — ligt in — op positieven afstand van den rand en de 
n V 
Z) tt 
uitwendige maat van — is w maal de inhoud van — . De uitwendige 
V n 
maat der door alle — gevormde verzameling is dus wb. Iedere meet- 
V 
bai-e verzameling, die alle verzamelingen — bevat, heeft dus in den 
V 
oorsprong' een dikte ^ ^e. Op elk der verzamelingen — bevat (§) 
V 
minstens één term, die oneindig groot is, zoodat rf (§) daai' oneindig 
of onbepaald is; iedere meetbare verzameling, waarop ^ een 
bepaalde eindige waarde heeft, heeft dus in den oorsprong een 
dikte — ?v, zoodat /(ê) niet integreerbaar (C) is. 
Eigemchap 5: Als en ƒ, (I) integreerbaar (C) zijn, en e, 
ticee lüillekeurige eindige getallen voorstellen, dan is een functie die 
met <?i /i (s ) -|- ^5 ƒ, (b) samenvalt, als deze vorm beteekenis heeft, 
integreerbaar (C) en de integraal is maal de integraal van ƒ, (§), 
vermeerderd met e.^ maal de integraal van /j (ê). 
Bewijs ■. Twee functies heeten equivalent, als ze behalve misschien 
op een verzameling van de maat nul samenvallen. Uit de voor- 
gaande eigenschap blijkt dat iedere [C) integreerbare functie equi- 
valent is aan een eindige functie; uit de eerste eigenschap dat twee 
equivalente functies öf beide öf geen van beide integreerbaar {C) 
zijn. Omdat bovenstaande eigenschap voor eindige functies onmid- 
dellijk uit de definitie van het integraalbegrip (6') volgt, geldt de 
eigenschap algemeen, omdat de functies zoo noodig eerst door de 
equivalente eindige functies vervangen kunnen worden. 
