9 
de dubbelpunten der lijnenparen gaat. De snijpunten van r met <)“* 
vinden wij terug in de aclit punten, welke r met d® gemeen heeft, 
en in het op r gelegen puntenpaar P^, P^. 
De vier singuliere rechten 1) der (2,2)* vinder» wij in de 
recliten hk- 
§ 7. Een (2,2), waarvoor n = 3 is, verkrijgen wij als volgt. 
Zij a’ een kubische kromme, de poolkegelsnede, p de poolrechte 
van P. Aan F voegen wij toe de beide snijpunten en P, van 
met p. De verwantschap (2,2), welke daardoor ontstaat, is involu- 
torisch, omdat P en P., zijn te beschouwen als drievoudige elementen 
in een kubische involutie. waarin de snijpunten van PP, met <P 
een groep vormen *), of ook als de dubbelpunten der cyclische pi‘ 0 - 
jectiviteit, welke door die groep is bepaald. De klasse dezer /2,2) 
is dus een. 
Komt P op a*, dan vallen P, en P, met P samen ; P is dan 
een vertakkingspunt, dat vei-eenigd ligt met het overeenkomstige 
dubbelpunt. Komt P evenwel in een huigpunt B, dan maakt p deel 
uit van p', zoodat B een singulier pmit en de stationaire i'aaklijn 
een singuliere rechte is. 
Komt P op de Hessiana H" van a\ dan gaat p dooi' het even- 
eens op de Hessiana gelegen dubbelpunt van p^, en P, valt samen 
met P,, zoodat P vertakkingspunt is. De vertakkingskromme [Vy 
bestaat dus uit a’ en H^, en deze krommen vormen tevens de 
meetkundige plaats der dubbelpunten. 
Als P de rechte r doorloopt, beschrijft p’ een bundel en omhult 
een kegelsnede. In elk basispunt van ( p^) liggen dus twee aan P 
toegewezen punten. Daar een p^ buitendien de twee punten bevat, 
welke door de overeenkomstige p worden ingesneden, woi-dt de 
rechte r omgezet in een quadrinodale kromme Deze bevat de 
negen buigpunten van u', daar deze overeenkomen met de punten, 
waarin r de stationaire i-aaklijnen snijdt. Bijgevolg moet (/ aan a* 
raken in de drie snijpunten van u' met r. 
De afgeleide van deze (2,2) is van de vierde klasse. Immei-s, een 
rechte p heeft vier polen, bevat dus de vier paren P, P,, welke 
door de overeenkomstige vier poolkegelsneden worden ingesneden. 
b Kohn, Zur Theorie der harmonischen Mittelpunkte. (Sitz. ber. Akad. der 
Wiss. Wien, Bd. LXXXVItl, S. 424). 
