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Fourier, api'ès Eüler, avait depuis longtemps fonnii la solution 
du problèine pour Ie cas Ie plus siiiiple, celui oü la fonclioii donuée 
remplit dans sou mode de variation toutes les coiiditions de régula- 
rité désirahle. Et ses formules teuaient toutes dans la suivante: 
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Ce qui s’énonce: Ie terme indépendant de t, est ég al au quotiënt 
par 2,t de l' integrale de f dt entre les lirnites 0 et 2.7i. 
Ou peut dire que toute l’liistoire et l’évolutiou de la notion moderne 
d’intégrale est contenue dans cette plirase. 
En effet, on avait dans la relation précédente deux éléments 
otfrant un sens parfaitement clair, d’une part Ie coëfficiënt initial a, 
dans une série ti-igonométrique, d’autre part la somme f{t) d’une 
telle série sujiposée convergente. Mais Ie lien entre ces deux élé- 
ments, savoir l’opération intégrale permettant de passer de f{t)ka^, 
exigeait une définition plus c.ompréliensive que celle dont on disposait. 
La première tentative fut celle de Riemann. Grace k lui, l’inté- 
grale dite délinie eut uu sens pour des fonctions discontinues ti-ès 
générales. En tout cas, la manière d’exprimer la fonction a l’aide 
de la variable cessa d’inlervenir ni en fait ni implicitement dans 
la regie du calcul intégral. Et Riemann cotistata que si une fonction 
développée en série trigonométrique est intégrable selon Ie sens qu’il 
avait donné a ce mot, la formule de Fourier est exacte quand 
l’opération intégrale etfectuée sur f{t) est conforme a la régie qu’il 
avait énoncée. 
Mais dans la vaste classe des fonctions représentées par une série 
trigonométrique, celles que Riemann pouvait intégrer formaient une 
catégorie bien étroite. II fallut attendre jusqu’au début de ce siècle, 
acquérir d’abord, grace a BoREii, la notion de la mesure des ensem- 
bles, pour obtenir ensuite une définition de l’intégrale s’appliquant 
è- toutes les fonctions susceptibles d’être effectiveinent désignées, et 
en outre bornées, c’est-a-dire dont toutes les valeurs demeurent entre 
deux uombres fixes. Cette intégrale est celle de Lebesguk. L’une des 
épreuves les plus remarquables de la puissance et de la justesse de 
cette nouvelle méthode fut précisément fournie par sa validité dans 
la formule de Fourier. 
II était vraisemblable que les points de vue de Riemann et de 
Lebesgue livraient ce qui, dans la notion d’intégrale, présente un 
intérêt général, susceptible de trouver sou ap[)lication dans les divers 
dornaines de l’Analyse. Néanmoins, comme l’opération de Lebesgue 
