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ne suffit pas a résoudi-e Ie problèine de la détermination des coef- 
ficients des séries (rigoïioiiiétriqnes les plus générales, il éfait naturel 
de cherclier la solntion compléte de ce probième. Le role liistoriqne 
de cette question depnis cent cinquatite ans, justitiait è, lui seul ce 
désir de dévoiler totalement le secret qui avait provoqné tant de 
fécondes méditations. 
Cette solution, dont il serait impossible en ce court exposé, de 
tracer même les grandes lignes, est fondée sur nne propriété décon- 
verte par Rirmann, et qui est celle-ci. La somme d’ime série trigono- 
métrique convergente est la dérivée seconde généraUsée d’une fonction 
continue. 
En d’autres termes, a trois valeurs de la variable exactement en 
progression aritlimétique, correspondent pour cetle fonction continue 
trois valeurs sensihienient en progression aritlimétique. L’approxi- 
mation est proportionnelle au carré de la raison de la progression 
exacte suivie par la variable, et le coëfficiënt de proportionnalité est 
précisément la somme de la série trigonométriqne considérée au 
point médian de la même progression. 
On met en évidence certaines propriétés différenlielles du premier 
ordre de cel te fonction continue, comme il est possible de le voir 
aux Comptes Rendus de cette Académie pour Tannée 1920. De ces 
propriétés se dédnit le mode opératoire d’intégralion qui permet de 
donner dans tons les cas un sens et une justification aux formules 
de Foürier. On trouvera le détail de cette méthode aux Comptes 
Rendus de l’Académie des Sciences de Paris pour 1921. 
Les considérations anxquelles aboutit ainsi, du point de vue de 
l’Analjse, le probième des séries trigonométriqnes siègent a un 
degré d’abstraction qui parait les éloigner beaucoup des questions 
physiques oü elles trouvèrent l’occasion de venir a la lumière. 11 
n’y a pas lieu, me semble-t-il, de reproclier aux analjstes le terrain 
oü ils out transféré le probième. 
La route des matliématiques et celle des Sciences de la nature ne 
sont ni confondues, ni parallèles, mais divergentes. Et pas plus que 
la théorie analytiqne d’un phénomène naturel ne saurait ponr le 
physicien se passer dn controle expérimental, ni surtont survivie 
au démenti de celui-ci, pas davantage les interprétations phjsiques 
d’une relation mathérnatique ne peuvent i-emplacer pour l’analjste 
une démonstration logique d’une irréprochable rigueur. 
Si les terrains de ces deux Sciences se juxtaposent le long d’une 
ligne oü des formes numériques identiqnes s’offrent simultanément a 
leur intérêt, c’est dans des sens directement opposés que leurs voies 
