172 
f — a z -f- . . . . convergeert en nergens nul of 1 voorstelt ^). 
Hier moge een bewijs voor de stelling van Picard volgen, dal 
berust op die van Landau en verder elementair loopt. 
1. Zij f{z) holomorf voor |z| •< R, daar nergens 0 of 1, terwijl 
- < I ƒ (0) I :< fi. Dan is op grond van de stelling van Landau : 
< I /( 5 :) I < ^(p), voor ) 2 I < I R 
Onder (p) kunnen wij verstaan de bovenste grens van |/(^)| 
als \z\^\ R, voor de functies die aan de genoemde voorwaarden 
voldoen. Dan is (p (p) een monotoon toenemende functie van p. Wij 
zullen bewijzen dat (p (p) minder snel toeneemt dan een bepaalde 
macht van p. Laat vooreerst p = zijn, waarin k een natuurlijk 
getal, en beschouw de functie 
^(2) 
Logfiz) 
{2k + 2)ni 
waarin de teller voor z — o gelijk moge zijn aan de hoofdwaarde 
van Log f{o). ^ 0) is eenwaardig en holomorf voor | 2 | <;] en 
daar nergens nul of 1, wegens f{z) 7 ^ 0 en ^ 1. Verder is 
^<^9 I /(O) 11+^ 
MO)! < 
(2^ 2) jr 
Uit 1/(0) 1 < volgt | Log | ƒ (0l | < ‘Ikn, zoodat | A (Oj | 1. 
De stelling van Landau levert nu 
, ^ R 
\X{z)\<(p ( 1 , = p, voor I 2 I < -, 
zoodat 
Log ƒ (■«) I (2^ -|- 2) jt p, voor 
< _ 
“2 
en 
^-^2k+2)np < I / (2) I < 
We hebben derhalve: 
cp e( 2 ^+ 2 ) 7 rp yQQj. ^ natuurlijk getal. 
Is nu p een willekeurig getal, grooter dan 1 , dan kan men een 
natuurlijk getal k vinden waarvoor 
g2(fc— !> ^ 
Dan is 
<p (p) < tp -< e(2^+2V <;; pP. 
Voor p ^ 1 is derhalve 
^ (p)< ap?> . . . (1) 
waarin a=e^^P en p = rp {L, ^). 
‘) Vierteljahrschrift. der Naturf. Ges., Zürich, jaargang 58 (1914), deel 3, p. 
203—238. 
