174 
Nu volgt uit (2), als we ?’=— stellen: 
2 
a_„ -f- a,i 
2n 
22tiv 
en 
6_,i -j- 
,2n 
22nv 
< 
2 • 
2nv 
(3) 
Deze ongelijkheden gelden als men voor v n .willekeurige 
natuurlijke getallen kiest. Neemt men voor w een vast getal, zoodanig 
dat 2” > p, dan volgt uit (3) dat | a_„| en | | kleiner zijn dan 
ieder positief bedrag. Hieruit volgt: 
a_„ = b—n = 0, als 2" j> jo. 
De reeksontwikkeling voor Log\F{z)\ bevat dus hoogstens een 
eindig aantal termen met negatieve machten van r. Dit geldt 
evenzeer voor de reeksontwikkeling van de toegevoegde harmonische 
functie 
CO 
Arg, F {z) — Ad JS' ( — cos nO + a„ sin nd) rn. 
« = —00 
Voor 0 ] 2 I <j besluiten we nu dat 
F {z) = (4) 
waarin tf: (z) het punt O niet tot essentieel singulier punt heeft, dus 
daar öf een pool, 5f een ophefbaar singulier punt bezit. 
Uit (4) volgt 
F’(z) A 
= - + 0<|^|<9. . . . . (5) 
r \z) z 
De functie 1 — F {z) voldoet aan de zelfde voorwaarden alsi^U). 
Ze is holomorf in behalve in O, en voor 
1 verschillend. Derhalve is 
F' {z) B 
^ I 2 9 van nul en 
+ x' o < I 2 I < ^ 
( 6 ) 
F ( 2 ) — 1 z 
waarin x ( 2 ) het punt O öf tot pool, öf tot ophefbaar singulier punt 
heeft. 
Uit (5) en (6) volgt dat 
F{z)- 
F{z) 
het punt 0 öf tot pool, öf tot 
ophefbaar singulier punt heeft, zoodat dit voor F {z) eveneens geldt, 
waarmee de stelling van Picard bewezen is. 
4. De niet essentieele uitbreiding van het theorema, die als volgt 
luidt: ,,Als F {z) in een omgeving L2 van (9, met uitzondering van O 
meromorf is en in een omgeving ü' ü van O drie waarden a, b 
en c niet aanneemt, dan is F{z) meromorf in iü” volgt onmiddellijk, 
daar de functie 
F(z) — tL c — b 
F* (z) = —FL . 
F (z) — b c — a 
aan dezelfde voorwaarden voldoet als F{z) boven. 
Groningen, 18 April 1920. 
