273 
Dus we krijgen als voorwaarden voor demping 
lim S {tjct) — 0 
00 
lim {t/a) = O 
<= 00 
§ 3. Na wat wij in het vorige over het lineaire systeem gezien 
hebben, ga ik nu in het algemeen aantoonen, dat bij de hysteresis 
volgens VoLTERRA geen elastische potentiaal bestaat, zoodat er dus 
energiedissipatie plaats heeft. 
Uitgaande van de bewegingsvergelijkingen : 
Z— 
p(F- 
ö t 
èt,, öi,, 
oa; oy Oz 
( 1 ) 
( 2 ) 
(3) 
heeft men afgeleid (zie bv. Riemann Weber. Die part. diff. Gleich, 
der math. Physik II § 65) de betrekking: 
Arbeid, verricht door de massakrachten X, Y en Z, die op de 
volume-elementen werken -{- arbeid, verricht door de oppervlakte- 
drukhen — verandering in kinethische energie — 
-i' 
+ ■’ 6< 
dv. = 0^) 
Dan volgt uit de 2e hoofdwet, dat 
Ö7i, , . öy, 
dt 
ö< 
voorstelt de in den tijd dt gewonnen potentiëele energie binnen in 
de ruimte k ten gevolge van de elastische spanningen, zoodat wij 
krijgen : 
Verandering in de potentieele energie — dT' — X t^h dy^h 
ik 
Hierin ga ik nu de voor lineaire hysteresis volgens Volterra 
gecorrigeerde uitdrukkingen voor de spanningen tth substitueeren 
en krijg: 
t 
dT' = [2 bchjrs Yrs (^)J dyth + [ 1 ^ d’^lrs (tr) yrs(T) dr'\ dyih 
ih VS th \J rs 
Vroeger waren de tf’’s nul en ging de redeneering als volgt: 
1) de t ih ’s zijn als steeds de elastische spanningen, de yih ’s de deformatie 
grootheden. 
