Wiskunde. — De Heer Arnaüd Denjoy biedt eene mededeeling 
aan: ,,*Swr une classe de fonctions admettant une dérivée seconde 
généralisée” . 
Considérons une série trigonomélrique partout convergente 
ƒ {$) =1 üg -\- Aj An . . . (1) 
oü A„ = a„ cos nO -j- sin nd ; a^, an, hn étant indépendants 
de 0. Soit Bn = — hn cos nd ansinnd. Intégrons terme a terrne 
la série (1), et posons ; 
(p (d) = <9 -|- C -j- 5, d- ■ . • d — + (2) 
n 
en tout point d oti la série du second membre converge. Aux points 
od cette série diverge, nous dirons qiie (f (d) n’existe pas. Cest 
qnelconque, indépendant ded. Intégrant une fois deplus, nous trouvons: 
F(d)=:^d^ A- Cd + C'~A, . . (3) 
2 n 
C' étant, comnae C, indépendant de d. 
Riemann a montré que Ia fonction continue jP(<9)admet /(d) pour 
dérivée seconde généralisée, c’est-a-dire que, si 
. F{d-Au)AF{0~-n)-2F(d) 
K {d, u) = , 
u 
on a ƒ {d) = Urn R (d,u), quel que soit d indépendant de u. 
u=0 
Nous nous proposons dans cette note d’étudier les propriétés dif- 
férentielles du premier ordre de la foncrion F {d). II est bien connu 
que, si F {d) possède au point d^ une dérivée F' (<9,), la série (2) 
converge au inême point et Ton a </) ((9„) = A’' (!9J. La réciproque 
est exacte. Donc, <p {d) et la dérivée de F existent ou non simulta- 
nément, et coïncident chaque fois qu’elles existent. 
Posons 
. F(e + u)-F(e) 
Q {O, u) = 
u 
On montre que: 
Q \ di ?«] d A C d' • • • + 
lend vers 0 avec u, si n\u\ reste compris entre deux nombres 
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Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXIX. A". 1920/21. 
