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positifs indépeiidants de u. Les propriétés différentielles du premier 
ordre de F (6) et Ie mode de convergence ou de divergence de la 
série (2) sont ainsi étroitement liés. 
n étant clioisi comme il vient d’être dit, la différence 
Q\d jUM, }.ii\ — ( B F C 
tend aussi vers 0 avec u, unifonnéinent dans Ie champ ; O quelconque, 
1 
p, l, - bornes. Enfin, si Po + Z^i + •••• + = 0, l’expression 
Po Q w] + Pi Q [^ + Pi ^-1 “J + . • . + Pr Q -f P>- M, Ar w] 
tend uniformément vers 0 avec u dans Ie cliamp: 6 quelconque, 
2 I Pj- + 2/,- 1 1 p; I , 2 Pj’ I Pi' I , ^ A;-’ \ Pi \ , ^ 
Al' 
tous bornés (p„ = 0, = 1). 
lia démonstiation se fait en remarquant que, si y'aF = q„, 
Qn tend vers 0, d’après la convergeiice de la série (1). Donc, si 
” ” , , ^ Q (m) cü" (n) 
^ Q (w) = n Cü (n) , ^ m Q (m) = co (n) , ^ — , 
1 1 )i+l n 
les coefficietits co {n), to' (n), co" {n) tendent vers 0 quand n croit. 
On a : 
Am F ^) — Am {B) COS mu -(- Bm (B) sin mu. 
D’oü 
Am [<9 + ( i + p) m] — Am [t? -b P “] = Am {B) [ COS m p -|- A M — cos m p ;<] -j- 
-f Bm (B) [sm m (p -|~ A) ?« — sin m p u]. 
Si m ^ n, nous transformons les coefficients de Am {B) et Bm (B) 
par les formules: 
r -«0 
cos — cos a = ö- 
(d’< 1) 
sm (3 — sin a = {^3 — a) 
l-B 
(0<t9<l). 
Si ))} ^ n, nous remplacons les mêmes coefficients par 2r^, 2d' 
avec d’, d < 1. 
Les résultats énoncés paraissent alors en évidence. Sous leur forme 
la plus simple {p„ = — = 1, = 0, p.^ = . . . = 0), la propriété 
que Q [B, u\ — Q\^B, hi] tend uniformément vers 0 avec u, dans Ie 
cbamp'. B quelconque, I et 
bornés, donne lieu a la remarque 
suivante. 
