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Soit d un nomhre dérivé (extréme ou médiaii) ’) de F au point 0. 
II existe alors une suite de nombres de raême signe h^, 
tendant vers 0 et tels que: Urn Q[8, = d. Soit o un nombre 
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supérieur k 1, aussi grand- que nous Ie voudrons, indépendant 
de n. Considérons Tensernble E formé des intervalles et ainsi 
— ^ a 6 a\kn\-, i'n est Tintervalle 
détinis: L est 1’intervalle 8 
6 
\ hn \ k 8 — 
hn 
8 est évidemment un point limite de E. 
Or, quelle que soit la fa^on dont un point t = 8 -\- h tende vers 0 
sans quitter E, Q [_0, A] tend vers d. 
Nous disons alors que F {8) admet au point 8 wx\& dérivée spéciale 
a E, égale a d. 
La propriété étant exacte quel que soit a invariable, il est possible 
de choisir « croissant indéliniment avec n, assez lentement pour que 
la propriété subsiste sur l’ensemble Ed ainsi obtenu. Donc, 
Si d est un nombre dérivé extreme ou médian de F {8), d est la 
dérivée de F {8) spéciale d un ensemble Ed dont l’ épaisseur supérieure 
au point 8 est 1 bilatéralement ’). 
Supposons que Ie rapport - — - — soit borné indépendamm.ent de n 
I) -p 1 
(mais non de 0). Alors, si 1 <( 
1 
hn 
<( /, choisissons a '^\/ l, et 
q On appelle nombre dérivé de F Tune quelconque des valeurs limites d de 
F — E{8) ^ 
= Q {6, u) quand u tend vers 0 avec un signe invariable, $ 
u 
demeurant fixe. d est un nombre dérivé droit si > 0, gauche si u < 0. d est 
un dérivé extréme, soit supérieur,^ soit inférieur,,si d est Tune des limites extrêmes, 
soit la plus grande, soit la plus petite, de Q (6, u) quand u tend vers 0, avec un 
signe déterminé. 
Tout nombre compris entre les dérivés extrêmes de F póur un cóté donné, est 
appelé nombre dérivé médian pour Ie même cóté. 
q Soit m (x) la mesure de la partie d’un ensemble donné E comprise entre un 
point fixe a et un point quelconque x. m{x) a Ie signe de x-a, a moins d’être 
nul. On appelle épaisseur supérieure droite, épaisseur inférieure droite, epaisseur 
supérieure gauche, épaisseur inférieure gauche de E en un point Xg, les nombres 
dérivés de même qualification respective de la fonction m(x) en Xg- Ges nombres 
dérivés appartiennent au segment (0,1), (c’est è, dire a l’ensemble des nombres /u 
tels que 0 < iW < 1). On dit que E possède en Xg une épaisseur (sous-entendu 
bilatérale) ou une épaisseur droite, ou une épaisseur gauche égales a A en Xg, si 
m{xj admet en Xg Ie nombre A respectivement pour dérivée (ordinaire, bilatérale) 
ou pour derivée droite ou pour dérivée gauche. On sait que les points df; E oüE 
n’a pas l’épaisseur 1 forment un ensemble de mesure nulle 'Lebesgue). 
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