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T|> ((9) et a tp {6 k^). Désignons par iin autre poiiit de Ia courbe, 
et soit 6 k son abscisse. 
Forinons sur 1’axe des 6, les images du point 6 -[- k, par une 
succession de réflexions alternées sur les poiuts-miroirs {O, 0 -|- ^-j). 
Nous obtenons, selon que la première réflexion a lieu sur 6 ou sur 
deux suites de points-images ; 
d — d -\- k O — k — 6 -\- k A: k^, . 
et 
6 — ^ 2 6 ^ k — 2 6 — k A k^, 6 k — 4 . . . 
Les points représentatifs de F pour ces deux suites d’abscisses, 
seront, avec une certaine approximation que notre objet est d’étudier, 
1® dans Ie premier eas, Ie symétrique M' de par rapport a M, 
puis Ie symétrique M” de M' par rapport a M^, puis Ie symétrique 
de M" par rapport a J/,, et ainsi de suite, 2" dans Ie second cas, 
Ie symétrique M\ de par rapport a ibTj, puis Ie symétrique 
de M\ par rapport k M, etc. 
Dans ce qui snit, nous ne restreindrons pas la portée de nos 
conclusions en considérant uniquement les points-images déduits de 
O k par un nombre pair de réflexions sur Ie couple {8,6 -\-k^). 
Ces points-images ont pour abscisses des nornbres en progression 
aritlimétique de raison 2^i, formant la suite 6 k -\- 2m k.,,m 
nn entier de signe quelconque. ün tel point-image est obtenu par 
\ni\ réflexions doublés de <9 sur Ie couple ((9, (9 la première 
réflexion se faisant sur 6 ou sur 8 -f k^, selon que rn est positifou 
négatif. Exprimons les ordonnées des points de la courbe F corres- 
pondant aux points-images: 8 k 2mk^. 
Nous avons par hypothèse, quel que soit u: 
F {8 + u) F F {8 — = F {8) -f d* < 1 
F [8 — u] F F {8 F k, F u) = 2 F {8 F k,) + FA {u -f k,Y d'’ < 1 
D’OÜ: 
F [8 Fu\— F \8 F'^k^F u\ = — 21F(6 A- k,) — F{8)] + öA [u’ + (m + )’] 
Supposons d’abord m positif. Donnons a u successivement les 
valeurs k,k 2A;,, . . ^ -f- 2 (m — 1) k^. II vient : 
F[8Fk\— F{8F‘^mk^-Ak)= - 2m[F {8 Ak,) — F{8)] + d^(ü, 
avec 
60 = ^’ -|- (^ -|~ ^i)* 4~ • • • [^ “F (2w — 1) ^j]’. 
Supposons m négatif et égal a — m' . Dans la relation précédente, 
nous rempla^ons m par m' et k par k — ‘l7n'k■^. II vient: 
F{8 + k) — F {8F‘^mk^-\-k)= — 2m + — F{8)\ + öAw,. 
avec 
= (k — L 
