340 
est absolument convergente, si les nombres 
F{t 4- m) + F[t—u) — ‘isF{t) 
OU t = e + K restent bornés pour toute valeur réelle de u et pour 
toute valeur entière de n (positif), sous ces conditions sufjisantes, 
F {6) possède une dérivée au point 6. 
h)i 
Un cas particulier remarquable est celui oü la suite 
Soit 
Jln 
bn 
+1 
a, a étant indépendant de w. Si 
hn 
bn-\-q 
est bornée. 
hn-\-i 
2, et si nous 
supprimons dans la suite les terraes la nouvelle suite 
1 h’n 
obtenue A,/ satisfait a la condition 
lA'n+l 
2«. j/i| étant coinpris 
entre 1 | et [A„,|, nous considérons la suite h, h,n, et, 
conservant sou premier ternie, nous la réduisons de proche en proche, 
en y supprimant, au fur et è. mesure que nous en rencontrons un 
dans la suite parcourue dans son ordre naturel, tont terme supérieur 
en valeur absolue a la moitié du dernier terme conservé. 
Dans la suite restante, /i, h\, . . . , A'^, ... ie rapport de chaque 
terme au suivant est inférieur en valeur absolue èi 2 «. La série 
It 
A'n + 
est conveigente, d’après; 
b'u I < 
2” 
41, et 
4'„’ 
4 
2 « I 4'„ I . 
On a : 
4* ® 
4 , 1 
h' * 
ft 
2« I 4 I 
1+- + . .. + - + •• 
2'^ 
= 20o I 4 
Donc, dans Ie cas ou Ie rapport 
h„ 
A,i -[- ; 
est mférieur en valeur ab- 
solue d un nonibre a indépendant de n, et ou Ie rapport |Z?(^,m)| est 
borné par A quels que soient u réel et t= O hn ou t = 6, 
F {6) possede une dérivée <p {&) au point O, et on a la formule 
Q 4] = (f {6) + 20d «.44, pour | 4 | <^ 2a | 4j |. (d* 1) . . . (9) 
