410 
waarbij de sommatie is uit te voeren over k,l = \, 2, 3. Als in 
’t vervolg een index slechts een der waarden 1, 2, 3 kan aantiemen 
zullen wij dien index door een Latijnsclie letter voorstellen. Kan een 
index daarentegen een van de waarden 0, 1, 2, 3 aannemen dan 
zal hij steeds door een Grieksche letter worden voorgesteld. Ingeval 
van sommatie over een tweemaal voorkomenden index zal in beide 
gevallen het sommatie-teeken worden weggelaten. Voeren wij nu de 
transformatie (1) uit, dan gaat Gki dxj^ dxi wederom in een quadratischen 
1 
vorm van de differentialen der ruimle-coordinaten over, en — dx,jf 
wederom in het quadraat van een lineairen differentiaalvorm. 
Aangezien de verdeeling van de uitdrukking voor ’t lijnelement, 
aangegeven in (^2), slechts op één manier mogelijk is, mogen we dus 
besluiten dat de uitdrukkingen 
Gjii dxk dxi en 
igo^ dxjjY 
ff 00 
invariant zijn tegenover de transformatie (1). De grootheden 
bezitten bijgevolg vector-karakter, en hieruit leiden we verder af dat 
de bilineaire differentiaalvorm 
ö /covA ö 
* dXr 
ÖX\i 
ff -^ y 
dXa (fx.j 
ook invariant is tegenover de transformatie (1). De constante s mag 
willekeurig gekozen worden omdat de grootheid bij de transfor- 
matie slechts met een constanten factor vermenigvuldigd wordt. 
Kiezen wij speciaal 5 = 1 dan zien we dat alle termen waarvoor 
ju = 0 of 1 ’ = 0 gelijk aan nul worden, zoodat we in dit geval den 
index 0 kunnen veronachtzamen bij de sommatie en we verkrijgen 
het resultaat dat de uitdrukking 
i ^ / m 
^^^k\ff„oJ \ffoo 
^ ffoc 
dx]c ö'xi 
(4) 
een invariante is. Daar de coëfficiënten van dezen differentiaalvorm 
antisjmmetrisch in de indices k en / zijn, kunnen we (4) als een 
lineairen vorm van de differentialen dxki= dxjcdxi- — tfxjcdxi beschouwen. 
Aangezien nu voor een driedimensionale uitgebreidheid de uitdruk- 
king ly^GDxmdxki, waar G den determinant van de coëfficiënten 
Gki i«i de uitdrukking dQ^ = Gudxkdxi voor het invariante lijnele- 
ment voorstelt, en waar bij de sommatie k,l,m achtereenvolgens de 
stellen waarden 1,2,3 en 2,3,1 en 3,1,2 aannemen, invariant 
blijft bij een willekeurige coördinatentransformatie, transformeeren 
zich de grootheden V Gdxki als de componenten van een covarian- 
ten vector (waarbij we, zooals gewoonlijk gedaan wordt, de trans- 
