Analyse mathématique. — De Heer Arnaud Denjoy biedt eene 
mededeeling aan : ,,Sur tme propriété de séries trigonométriques” 
(Medegedeeld in de vergadering van 26 Juni 1920). 
Dans une Note que j’ai eu riionnenr de présenter a TAcadémie 
dans sa dernière séance, j’ai démontré iine propriété dont je vais 
rappeler l’énoncé, et qiii appartient a une certaine classe de fonctions 
F {6) admettant une dérivée seconde généralisée f{0). 
Posons 
> F{a + u)-F’(e) 
Q (o'. «) = 
U 
Z, ^ F (» + «) + F (<?-") - 2F «9) 
R (e, u) = . 
u 
On a Q{6,u) = Q{0 u, — u) et uR {d,u) = Q {6,u) — u). 
Par hjpotlièse R{6,u) tend vers f{8) quand u tend vers 0, ö restant 
invariable (condition A). 
Nous désignons par \p{8) Ie maximum de |/?((9,w)| pour toutes les 
valeurs de u,8 gardant une valeur indépendante de u. rj étant un 
nombre positif quelconque, désignera Ie maximum de | /?(<9,w)| 
pour 
Les fonctions F{8) auxquelles s’applique Ie théorème démontré 
dans ma précédente note, satisfont non seulement è, la condition de 
posséder une dérivée seconde généralisée, mais encore alasuivante: 
La différence Q{8^ Xu) — Q {8^ u) tend vers 0 avec u, unifor- 
1 
méynent dans tout champ ; 8 quelconque, U | + 
<C T, r étant indé- 
pendant de 8^ de u et de I (condition B). 
Ces propriétés de F{8) sont en particulier vérifiées si f{8) est la 
somme d’une série trigonométrique partout convergente. Si Ton pose 
f{8) — F (1) 
avec An = cos n8 + bn sin n8 («o. cin, b» indépendants de 8), on a 
F{8)=^8^ + C8 F C' ( 3 ) 
2 n 
{C, C' indépendants de 8). 
Et si g{8) désigne, quand elle existe, la dérivée de F {8), 
(f {8) = 8 éi -\- B, -p . . . -\ h • • • 
n 
