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avec 
Bn = — hn COS nS + «n sin nS. 
Les points 6 de convergence de la série et d’existence de la 
dérivée sont les mêmes, avee égalité de la dérivée et de Ia série en 
ces points. Cela posé, nous avons démontré Ia proposition suivante; 
, , I hl I 
Si \h„ \ tend vers 0 en décroissant, si la série est abso- 
Pn+l| 
lument convergente, si et ^ (^) sont inférieurs d A 
indépendant de n, la fonction F {t)possède pour t = 0 une dérivée gid). 
h„ 
Si en outre Ie rapport 
de n, et si \h\ < 2« \hi\, on a 
est inférieur d a indépendant 
Q {d, h) =z ff {6) -f- 20d« Ah (r5* < 1) . . . . (9) 
Enfin, si \h\ <fp, A peut être remplacé par la home supérieure 
des nomhres tf’ [0, '>]), if? (<9 -f h„, p) pour \hf[ < n. 
L’hypothèse faite sur tf.’ n’itnplique pas l’existence de la dérivée 
seconde gónéraliste de f{G). La démonstration exige la condition (i?). 
De la formule (9) nous déduirons certaines propriétés différenti- 
elles de F{d) en nous aidant du thóorème de Baire sur !es fonctions 
limites de fonctions continues. 
THÉORÈME. Si P est un ensemble parfait (continu ou discontinu), 
l’ ensemble K des points de P au voisinage desquels {^), supposé 
fini, est non horné sur P, eet ensemble est non dense sur P. ’) 
Voici Ie sens de eet énoncé. Nous disons qu’une fonction n’est 
pas bornée sur P, au voisinage d’un point 6^, s’ii est possible de 
déterminer une suite de points situés sur P, tendant vers 8^ quand 
n croit, et tels que \g{8f}\ croisse indéfiniment. 8^ appartient k P 
puisque P, étant parfait, contient ses points limites. 
Je rappelle qu’un ensemble est dit ferme s’il contient tous ses points limites, 
dense en lui-même s’il admet chacun de ses points pour point limite, parfait 
s’il est a la fois fermé et dense en lui-même. 
On appelle portion de P tout ensemble parfait w contenu dans P et renfermant 
tous les points de P compris entre les extrémités de nr. 
On dit que l’ensemble E est 'partout dense sur l’ensemble parfait P, si toute 
portion de P contient des points óe E . E est dit dense sur P, s’il est partout 
dense sur une portion au moins de P.P est dit non dense sur P, si dans toute 
portion de P il en existe une autre oii E n’a pas de points. Si {E, P) désigne 
l’ensemble coramun a P et a P , P est partout dense, est dense, ou est non dense 
sur P, selon que Ie dérivé de (P, P), — c’est a dire l’ensemble des points limites 
de (P, F) — OU bien coïncide avec P, ou bien contient une portion de P, ou 
bien n’en contient aucune. 
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