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On pent encore dire qne, qnelqne soit lY, dans toute portion de 
P conlenant existe un point djsi ou 
Si au voisinage d’un point de P, xp[S) n’est pas bornée sur ]\ 
Toscillation ') de 'xp{0) sur P au point est infiuie. Et réciproquement 
d’ailleurs. 
Or, M. Baire a montré que si une fonetion est liinite de 
fonctions continues, renseinble K{c() des points de P oü Toscillation 
de xp{0) sur P surpasse un norabre positif a donné est non dense 
sur P. A fortiori, Tensemble K des points oü Toscillation de 
est infinie, est-il non dense sur P. 
Voici la démonstration de Baire dans ce cas particulier. 
Soit K Tenseinble des points de P au voisinage desquels n’est 
pas borné. K est éviderauient fernié. Si K n’était pas non dense 
sur P, il existerait une portion Pj de P qui serait contenue dans P. 
Nous définissons simultanément: une suite de points 6^ , . . . , dn , . . . , 
situés sur P, , une suite de segments '■') .sq , .f, , . . . , Ie segment Sn 
étant intérieur a 5„_i et contenant liu-même 6n a sou intérieur, et 
une suite de nombres u,,, par cette régie récurrente est un segment 
quelconque contenant des points de Pj . 6’„_i étant supposé obtenu, 
nous définissons cornme il snit 6n , , Un ■ étant non borné sur 
Pj, au voisinage de tont point de P,, il existe sur Pj, iutérieurement 
è, Sn-i, un point oü D’après = ?na.'r. \ R{6„,u)\, 
TT •< M <; TT 
il existe nu nombre non nul tel que \Ri6n ,u,i)\f>n. R{6,u) 
étant continue par rapport a 6 si ibfQ, on peut entourer 6^ d’un 
segment Sn intérieur a 5„_i, inférieur eu longueur a ^t en 
tout point 6 duquel \ R[d n. 
II existe un point 6' (et un seul, puisqne Sn tend vers 0 en lon- 
gueur) intérieur a tous les segments Sn ■ est la limite unique des 
points Donc, 6' est sur Pj. Or, 6' apparfenant a Sn quelque 
soit n, la suite \ R{d\un) \ croit indéfiniment avec n, ce qui est con- 
traire è. I’existence de xp(d'). 
Donc K est non dense sur P. Dans toute portion de P il en 
existe une autre oü K n’a pas de points et sur laquelle, par suite, 
(xpB) est bornée. Cette conclusion exige seulernent que, pour chaque 
valeur de B, les limites d’indétermination de R{B,u) pour m = 0 
b h' oscülation de f sur un ensemble Q en un point limite öy de Q, est l’écart 
des valeurs limites extrêmes de f (9) quand 9 tend vers 9^ sans quitter Q. {9 peut 
coïncider une infinité de fois avec 9q, si 9q appartienta Q). Si f supposëe finie en 
tout point et en particulier au point 9^, est non bornée sur Q au voisinage de 9q, 
l’oscillation de f sur Q en 9^ est évidemment infinie. 
®) Je distingue Ie segment a(S (ensemble a < o; < /S) de Vintervalle aP (ensemble 
x<x<P). 
