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soient fmies et non pas (eondition A) tonjours égaler et linies. 
Si i^véi'ilie la eondition {A), on inontre par nn raisonnement analogue 
an précédent, que si en tout point de P, |/(<^)| est inférieur a un 
nombre fixe C, on peut trouver un nonibre positif i] tel que, si 
est Ie maximum de \ R{d,u)\ pour |w| il existe une portion de 
P en tout point de laquelle <f C. L’iij[)othèse opposée, que 
toute portion de P contient, qiielque soit p, des points 6 oü > C, 
entraiiie \f{d)\>C en certains points de P. Toute portion de P 
donne lieu an mêine énoncé que P lui-inêine. 
Nous allons appliquer les propositions précédentes a diverses 
catégories d’enseinbles parfaits P, en supposont que F vérifie les 
conditions (.di) et {B). 
Prenons d’abord pour P un segment continu «jS. Ii’ensemble 
K relatif a P est non dense sur P. Donc, dans tout segment S 
situé sur uf existe un segment s\ ou af, oü IC ne possède aucun 
point. Alors, pour tous les points de s\ ip{^) est inférieur k un 
même nombre A. B et 8 li étant deux nombres quelconques 
intérieurs a s, posons h„ = D’après xp (8) et xp (8 Ihi] <C A, F 
a une dérivée au point 8. De plus, d’après la formule (9j oü « = 2 (et 
dont la dérnonstration se simplifierait extrémement avec les valeurs 
coTisidérees de h,,), 
Q{8,h)- 
F{8 + h) — F{8) 
h 
qi8)A- 40ü’A7i. 
En échangeant les roles ke 8 ei de 8 l>-, on trouve 
Q {cp + h, ~h) = ~ ^ f /i) + 40(5'AA. (ü=', S'^ < 1). 
— h 
Par conséquent 
(p {8 + h) — (p [8) 
h 
est borné sur l’intervalle a’f. 
Donc la fonction <({8) est continue sur s' et a ses nombres dérivés 
bornés. Elle possède, sauf éventnellement sur un ensemble de 
mesure nulle de valeurs de 8 comprises entre a et /i’, une dérivée 
qui, constituant ponr F nne dérivée seconde, ne saiirait être autre 
que f{8). 
Nous obtenons donc ce premier résultat important: 
1*. L’ ensemble des points de non existence ou de discontinuité de 
la dérivée de F (8), est non dense sur Ie continu. 
2°. L’ ensemble des points autour desquels q> {8)^ dérivée de F (8)^ 
existe et est continue, et en lesquels (8) a pour dérivée f [8], eet 
ensemble est partout dense sur Ie continu. 
