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Je dis que reiiseinble des poiiits oü F {6) ne possède pas de 
dérivée est de mesure nulle. 
En efFet, snpposons que eet ensemble ait une mesure positive 
(qu’il soit épnis)^). II contient donc un ensemble parfait épais en 
lui-même P. II existe une portion de P, soit P^, oü tf? {&) est borné. 
Or Pj élant épais, contient des points oü son épaisseur est égale 
a 1. Soit 8^ un de ces points. II existe un nombre positif p, tel 
que, dans tont intervalle contenant 8, et de longueur inférieure a tj, 
Tensemble possède une épaisseur moyenne supérieure a '/s- 
- k 8^ 4- — , Ia mesure de P, est 
1 “ ‘ O.'i 
Donc, dans Tintervalle 8. 
2 ’> + 
positive. Donc P^ possède des points dans eet intervalle. Soit<9-}-/i„ 
1’un d’enx. La suite F vérifie la condition 1 4 et 
hn 
+1 
est inférieur, qnel que soit n, au maximum fini de \^p8) sur P. 
Le théorème général s’applique. Donc, contrairement a notre 
hypotlièse, F[8) possède une dérivée en 8^. 
Donc, l’ ensemble E des points oii F’ {8) n’ existe pas, ensemble 
coïncidant avec celui oh la série (2) diverge, eet ensemble est de 
mesure nulle, résultat déja connu et démontré en particulier par 
M. Fatou, mais que nous établissons sans recours a rintégration. 
Considérons Tensemble oü </; {8) existe. Je dis que y {8) possède 
une dérivée approximative ") égale a f{8) en tout point de sauf 
éventuellement sur un ensemble de mesure nulle “). 
On montre d’abord par un type de raisonnement que j’ai indiqué 
q Je dis quün ensemble E est épais si sa mesure est positive; qu’i! est épais 
dans un intervalle ab, si les points de E intérieurs a ab forment un ensemble 
de mesure positive; épais en un point, s’il est épais dans tout intervalle contenant 
ce point ; épais en lui-même, s’il est épais en chacun de ses points. Si les points 
de E compris entre a et ö (a < b) forment un ensemble de mesure m(b) — m[a), 
m[b) — m{a) 
le rapport 
b — a 
s’appelle Vépaisseur moyenne de E sur l’intervalle ab. 
h' épaisseur de E en un point Xq est la limite, si elle existe, de l’épaisseur moyenne 
de E sur un intervalle contenant Xq et tendant indifféremment vers 0 en longueur 
(voir ma note de la précédente séance pour les cas oü l’épaisseur n’existe pas). 
On dit que ip (d) possède une dérivée approximative A en un point Öq (oü (p 
est définie) si le quotiënt tend vers A, quand $ tend vers Öq en se dépla- 
a — Oq 
qant indifféremment sur un ensemble (oü ® est supposé défini) dont l’épaisseur en Sq 
est égale a 1. (M. Kintchine emploie dans le même sens l’expression de dérivée 
asymptotique). 
.,Sur un ensemble contenu dans Ei et de même mesure que lui” s’exprime 
par la locution ,,presque partout sur EP de M. Lebesque ou par celle.ci „sur une 
pleine épaisseur de EP que j’ai proposée. 
