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ailleurs (Buil. de la Soc. Math. de Fi*., Ü915) que, si (p {&) n’admet 
pas en 6^ la dérivée approximative il existe un nombre positif 
OU tel que rensemblè e{d^) des points 6 vérifiant 
(p {&) — (p_ ((9.) 
>d(^o) 
possède en une épaisseur supérieure positive, pour un cóté au moins. 
Si Ie théorème énoncé était inexact, l’ensemble H des points 
6^ précédents aurait une mesure positive. 
Nous pouvons évidemment supposer que la fonction de est 
mesurable [il suffit pour cela que soit par exemple la moitié 
de la borne supérieure stricte des nombres d tels que l’épaisseur 
supérieure en 6^ de I’ensemble e{d) soit positive]. Soit Tensemble 
des 6^ tels que nd{d^)'^l. 
H est la réunion des Hn- Donc l’un au moins des Hn a one 
mesure positive. II existe donc un nombre positif tel que l’ensemble 
H' des 6^ véiifiant d{6^)^d a une mesure positive. 
H' contient un ensemble parfait Q épais en lui-même. 
f{6) étant limite de fonctions continues est ponctuellement discontinue 
sur Q (Baire). Si petit que soit d', l’ensemble des points de Q oü 
l’oscillation de f(ê) sur Q est au moins égale a t/', eet ensemble est non 
d 
dense sur Q. Prenons <i' = . I! existe une portion Qi de Q en tout 
point de laquelle l’oscillation de ƒ sur Q (donc aussi sur Qd) est inférieure 
a d' . Donc, si 6^ est un point particulier de Qj, il existe un intervalle 
i contenant 6^ et tel qu’en chaque point <9 de (2 situé sur Ie segment 
Soit Q, la portion de déterminée par l’intervalle i. (Q^ est 
l’ensemble parfait situé sur Ie segment i et coïncidant avec dans 
l’intervalle i). 
Cliacun, sauf Ie dernier, des ensembles Q, Q^, con- 
tient Ie suivant. Donc, en tout point de Q^, existe (puisque 
est dans £,), f {8) est compris entre ƒ (^J — et /(<9,) + ^ 
(dernière conditiën de Q^), et (p{8) possède, en tout point 8^ de Q^, 
et sur tout ensemble co(ö,) d’épaisseur 1 en 8^, un nombre dérivé 
spécial a «>(<9,) et ditférant de f{8) de plus de d en valeur absolue 
(puisque Q, est dans H'). 
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Considérons Fd^) ~ F{8) — — f{8d- Cette fonction continue possede 
en tout point de Q, la dérivée (pd8) = y(8) — 8f[8^). Fd^) possède 
