634 
en tout point la dérivée seconde généralisée f\{6) — f{6) — f {8^). 
^ f/ d 
/i(<9) est compris, sur Q^, entre — et D autre part, les nombres 
dérivés de (f>-^{8) sont cenx de (p{6) diminués de /((9,). Donc, q\{^) 
dérivée de Fd'^) existe en tout point de et possède, quels que 
soient Ie point 6^ de et Teiisemble (■o{6d ayant l’épaissenr 1 en 
6^, au inoins un nonibre dérivé spécial a et différant de /i((9,) 
d’au moins d en valeur absolue. Ce nombre dérivé vaut donc au 
moins d en valeur absolue. 
121 
D’après |/i(<^)|<Ct^ Qiiel que soit 6 sur Q^, il est possible de 
± 2i x 
d 
trouver un nombres' >0, tel que l’ensemble s') contienne 
xZi. 
une portion K de s') est par définition Ie maximum de 
F, {6 + «) + F, {ê-u) - 2 F, {&) 
Rdd,ti)=- 
pour 0 I M I , 
L’ensemble parfait K jouit en résumé des propriétés suivantes: 
1* K a une mesure positive {K étant portion de Q,, épais en 
lui-même). 
2° II existe une fonction et un nombre positif s' tel que la 
fonction {6, s') relative a est, en tout point de K, inférieure a . 
1 21 
3‘ iO) possède en tout point de K une dérivée générale 
(ordinaire) 
4“ Quel que soit 8^ sur K, et Tensemble o){8^) d’épaisseur 1 en 
8^, possède en 8^ un nombre dérivé spécial a tt>(<9„) et dont 
120 , 
la valeur absolue surpasse d. 
' 121 
Nous allons montrer 1’incompatibilité de ces conditions simultanées. 
L’ensemble des points de K oü K a 1’épaisseur 1 , a même mesure 
que K, donc une mesure positive. L’ensemble j[s) des points 8^ de 
K tels que, dans tout intervalle contenant <9^ et de longueur inférieure 
5 
a .s ( )> 0), 1’épaisseur de K soit supérieure a — , eet ensemble a une 
6 
mesure positive dès que s est assez petit, et cette mesure tend vers 
celle de K quand s tend vers 0. Supposons s s' et j {s) épais. 
Soit <9, un point oü j (s) a lui-même l’épaisseur 1. Je dis que, si 
8 tend vers 8^ sans quitter j (5), ^ limites d’indétermi- 
