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a M surpasse uii nombre donné. Qnand i tend vers M, / (/) possède 
une plus graude lituite X{M) que iioiis appellei'oiis «icZ/ce de en li. 
L’indice est nn tioinbre au moins égal a 1 et peut être infini, 
même en tont point de P. 
6 étant l’abscisse de M, l’indice A iM) peut encore être ainsi 
caractérisé (s’il est tini). Si petit que soit s positif, il existe une suite 
de points 6 hn situés sur P^ tendant vers ii et tels que, pour toute 
valeur de n, 1 
logiie lelie que 1 
I 
1 
hl, 
A (M) 11 n’existe pas de suite ana- 
< J {M) - 1 . 
En tont point (sauf peut-être aux points extrêrnes) d’une portion 
P^ de P, l’indice de P^ et celui de P coïncident. 
Si P est épais, A {M) = 1 en tous les points M oü l’épaisseur de 
P est 1. Mais, tnêrae si P est é[)ais en lui-mêtne, l’indice /. (i/) peut 
être intini en certains points, et raêine en un ensemble dense de 
points de P. 
On montre, selon un type de raisonuement maintes fois rencontré 
(voir par exemple, Ie Pren)ier Tliéorème des nombres dérivés, 
Journal de Jordan, 1916) les propositions suivantes; 
1. Si l’ensemble des points M oü A (J/) = x est partout dense sur 
P, eet ensemble est un lésiduel de P. De même pour Tensemble 
).{¥)>« > 1 . 
2. Si P possède en cliacun de ses points un indice tini, rensemble 
K des points de P au voisinage desquels eet indice est non borné, 
K est non dense sur P. 
3. Si Tindiee de P est en lont point inférieur a un nombre fixe 
il existe un nombre t] positif et une portion Pj de P, tels 
que, 1" si 6 est quelconque sur Pj, 2° si 6' est quelconque a la 
fois sur P et dans Tinlervalle 6 — 7j, ^ il existe un nombre 
6" situé sur P et vériüant les inégalités 1 
a '- 
-6 
6 "- 
~6 
<«. 
Oar rinexactitude de cette conclusion entrainerait sur un résiduel 
de P, l’inégalité !(!/)>('('. 
La proposition précedente peut être appliquée a toute portion 'nr de 
P. Les portions Pj pour lesquelles existe un nombre 7} sont donc 
partout denses sur P. 
L’application de ces lemarques a l’étude de F est immédiaté. 
11 est évident qu’en tont point de P oü l’indice est fini et autour 
duquel, sur P, ip(>9) est borné, existe. Donc: 
