Si l ensemble des points de P oü l'indice de P est fini, est partout 
dense sur P, 1' ensemble Ei des points d'existence de <P {^) est partout 
dense sur P. 
Noiis reli'oiivons coinme cas particulier Ie théorèaie que renseirible 
des points d’existence de ff {^) est partout dense sur tont ensemble 
épais,eten conséquetice, que E, complémentaire de £'i,estde mesure nulle. 
Si un ensemble parfait P possède en chacun de ses points un indice 
fini, r ensemble des points oü nexiste pas, ou est discontinue 
sur P, OU possède spe'cialement a P au moins un nombre dérivé 
infini, eet ensemble est non dense sur P. 
De plus, l’ ensemble des points oü ^P{^) est dérivable spécialement 
a P et oü sa dérivée spéciale a P est égale a f{^), eet ensemble est 
partout dense sur P. 
. Comine exemple particulièrement simple d’ensemble dont l’indice 
est partout fini, nous citerons l’ensemble parfait classique de Cantor, 
obtenu en retranchant d’un segment continu Tintervalle occupant 
Ie tiers médian de ce segment, puis en recommem^ant l’opération 
sur chacun des deux segments conservés et en la répétant indéfini- 
ment. ^{M) est pour eet ensemble P^ au plus égal a ^ en tont 
point. Dans !e cas Ie plus général, il existe sur P^ un ensemble 
ferme non dense K^, tel que sur toute porüon de P^ sans points 
cornmuns avec K, E"' (d) = rp {6) existe, est continue et douée s/)écinle- 
ment, a P, de nombres dérioés finis ; de plus, en tous les points d’un 
ensemble partout dense sur P^, ff(t9) admet f {8) pour dérivée spéciale a P„. 
Soit P un ensemble parfait quelconque, M un de ses points, 6 
l’abscisse de M, P{M) l’ensemble parfait obtenu comme il a été 
dit plus bant. 
Ponrcliaqneintervalle ^our5((9<^ r<^ s) contigu a P(ilPj et pour lequel 
l{i) 2 (on pourrait remplacer 2 par tont autre nombre indépendant 
{s — 8y . , 
supérieur a 1), formons Ie rapport = p (<) du carré de la 
r — O' 
distance k M de l’extrérnité s de i la plus éloignée de M, a la 
distance k M de l’extrétniié r de i la plus proche de M. 
II est aisé de voir que si la série p (i) est convergente, il est pos- 
sible de déterminer nne suite 8 -j- k,, située sur P et telle que la 
soit convergente. La réciproque est évidente. Nous dirons 
serie 
que P est nornial ou anormal en M selon que la série ft {i) relative 
è. M est convergente ou divergente. 
Toute porlion de P contenant M entre ses extrémités est, en même 
temps que P, normale ou anorrnale en M, 
