638 
On montre saus peine qne, si un ensemble P est norraal en chacnn 
de ses points, il existe, si petit que soit Ie nombre positif donné s, 
un nombre posilif et une portion de F, tels que, pour (oute 
valeur de & située sur et quelque soit sur P entre 8 — tj et 
+ il est possible de trouver une suite 0 h = , ff h^, . . . , 
/ ^ 
ff -f- /<„. . . , de points situés sur P et tels que la série —— + 77^ + 
I 'b ! Kbl 
+ ••• + ^ +•• 
ait une somme inférieure a s. 
De la résulte que, si un ensemble parfait P est normal en chncun 
de ses points, 1 ensemble des points de P oh (p (ff) est non existante 
OU discontinue sur P, eet ensemble est non dense sur P. 
Oonsidérons un ensemble parfait P dont la construction salisfait 
aux conditions suivanles. Soient jij, une suite de nom- 
bies positifs inférieurs a Vj- et un segment quelconque. A la pre- 
mière opération, iious retrauclions de un intervalle, de manière 
qu’il subsiste sur o„ deux segments u, ayant chacun une longueur 
su|)érieure a A la seconde opération, nous extrayons de chaque 
segment u, un intervalle, de fa^on que chacun des deux segments 
restants sui-passo ce rnême segment <7j multiplié par . . . A la w® 
fois, nous opérons sur 2 ' segtr)ents a„ conservés a la suite de l’opé- 
ration précédente. De chacun de ces segments, extrayons un inter- 
valle de manière que chacun des deux segments restants sui‘- 
passe Ie segment d’od il est extrait, multiplié par Et ainsi 
indéfiniment. 
1°. Si Ia plus petite limite de pour inlini est positive, et 
égale a p, P possède en chacun de ses points un indice au plus 
, , V 1 — n — a’ 
egal a « = . 
fi— ft’ 
2“. Si P est normal ou anormal en chacun de ses 
, dl dit ■ ■ ■ du 
points, selon que la serie est convergente ou divergente. 
Si donc = 2 — P est normal ou anormal selon que k 2 ou 
que k ^ 2. 
L’ensemble E des points de non existence de (p{ff) est, nous 
l’avons vu, non dense sur Ie continu. 11 se décompose en un 
ensemble non dense sur tout ensemble parfait (ou clairsemé) G-^ et 
un ensemble dense en lui-même G. Soit IJ Ie déidvé de G. U est 
parfait et G est partout dense sur TI. IJ est anormal en tous les 
poins de G, sauf éventuellement en certains points formant un 
ensemble g non dense sur TI. 
