Wiskunde. — De Heer Brouwer biedt eene mededeeling aan : 
„üeher eineinde^iiige, sietige Transformationen von Flachen 
in sich (Siebente Mitteilnng '))”. 
(Medegedeeld in de vergadering van 26 Juni 1920). 
lm folgenden gebe icb die Cliarakterisiernng aller Klassen von 
eindeutigen stetigen Abbildungerr einer beliebig vorgegebenen end- 
liclifach znsammenhangenden Fiaclie g anf eine beliebig vorgegebene, 
endliclifach znsammenliangende Flache n'. 
Sei O ein Piinkt von g, F die Grnppe der geschlossenen stetigen 
Kurven von g durch O (welche in bezug anf F nur dann als 
verschieden betracldet werden, wenn sie sicli nicht mittels stetiger 
Modifizierung nnter Festlialtung von O ineinander überführen lassen), 
JV eine ,,lSformalbasis” von F, welche aus den, falls g zweiseitig 
ist, der F'nndainentalrelation 
«1 
-1 /V— 1 
. a a «“F a , , 
n — 1 n j n n-f-l 
a , =1 
n-j-m 
und, falls g einseitig ist, der Fundarnentalrelation 
a2 al 
. a . =1 
n — 1 n «-|-1 
genügenden Kurven «j, a, (die wir in dieser Reihenfolge 
1) Vgl. diese Verslagen XVII, S. 741; XVIII, S. 106; XIX, S. 737; XX, S. 24; 
XXI, S. 300; XXVIII, S. 1186. Hinsichtlich der fünften dieser Mitteilungen kann 
bemerkt werden, dass der dortige Beweis auch unabbangig vom Lüroth-Glebsch- 
schen Tlieorem geführt werden kann, namlich so : a.a.0. S. 306 Z. 16 wahlen 
wir auf g' eine solche einfache geschlossene Kurve k, welche ein alle Bildpunkte 
von Randern und Verzweigungspunkten der sowie alle nirgends dichten Bilder 
von enthaltendes Gebiet g begrenzt, und ziehen kA-g stetig zusammen in einen 
Punkt P von g. Die durch diese stetige Kontraktion von k -\- 9 bestimmte stetige 
Aenderung von führt zu einer „priniitiven Abbildung oc^ von g auf g'", für 
welche die aussei halb voneinander gelegenen Innengebiete (t„ einer endlichen Zahl 
einander nicht treffender einfacher geschlossener Kurven von g je eineindeutig mit 
dera Grade i 1 auf die punktierte Flache g' und der Rest von g auf den Punkt P 
abgebildet wird. Sodann filliren wir mittels wiederholter stetiger Verschmelzungen, 
jedesmal von einem durch mit dem Grade 1 und einem durch mit dem 
Grade —1 abgebildeten in eine „homogen-primitive Abbildung <x^ von g 
auf g'" über, deren Gebiete entweder alle mit dem Grade + 1 oder alle mit 
dem Grade — I abgebildet werden. Dass alle homogen-primitiven Abbildungen 
«-ten Grades von g auf g' zur selben Klasse gehören, leuchtet unmittelbar ein 
In der sec.hsten Mitteilung ist S. 1189 Fussnote 2) stalt Math. Annalen 81 zu 
lesen Math. Annalen 82. 
