730 
orde kan zijn en ze is dus blijkbaar van de tweede. De eenige con- 
ditie aan ^ gesteld was dat dit vlak twee verschillende punten met 
het ovaal in « gemeen heeft. Er bestaat echter zeker een rechte 
welke drie verschillende punten van draagt. Brengen we door 
deze een vlak dat twee verschillende punten gemeen heeft met het 
ovaal in « dan moet de doornede daarin van de tweede orde zijn 
en toch 3 verschillende punten met een rechte gemeen hebben, wat 
on mogelijk is. 
Geval 3. Zij « het vlak, 6 en c de rechten en A hun snijpunt. 
Sluiten we het punt A uit dan komen langs het overige deel van 
h de sectoren van samen öf steeds van dezelfde zijde, öf steeds 
van verschillende zijden van a ^). Voor c geldt hetzelfde. Het geval 
dat langs beide rechten het eerste geschiedt is uit te sluiten, daar 
dan oneindig veel rechten en ook het geheele vlak a in F* bevat 
zouden zijn. Kwamen langs h de sectoren samen van dezelfde zijde 
van « en langs c van verschillende zijden, dan is volgens onze 
bepalingen b 'm a dubbel te tellen en de doorsnede wordt van de 
derde orde. Blijft over de mogelijkheid dat zoowel langs h als c de 
sectoren samenkomen van verschillende zijden van a. Zij nu ö een 
willekeurig vlak dat niet door A gaat, a de snijlijn van cf met « en 
.5 en C de snijpunten van a met c resp. è. De kromme in d passeert 
a in 5 en C en heeft geen verdere punten met a gemeen. Voor 
een kromme der derde orde zou dit nog mogelijk zijn, zoo B o( C 
dubbelpunt was, maar de bij geval 2 gebruikte redeneering laat 
zien dat dit is uitgesloten. De kromme in d is dus blijkbaar van 
de tweede orde. Er zijn echter lijnen welke drie verschillende punten 
van F’‘ dragen en niet door A gaan. Brengt men door een derge- 
lijke lijn een vlak dat niet A bevat, dan verkrijgt men weer een 
contradictie. 
Geval 4. Zij a het vlak en a de dubbeltellende rechte. Langs de 
geheele rechte a komen nu de sectoren F’ samen öf steeds van 
dezelfde, öf steeds van verschillende zijden van «. Het eerste is 
onmogelijk daar we in de projectieve ruimte werken. In het tweede 
geval zou door elke lijn ( 7 ^ a) van a een vlak ^ gaan dat een dub- 
h Elk punt van b (7^ d) is n.1. inwendig punt van een interval waarlangs de 
sectoren van dezelfde of verschillende zijden van a samenkomen. Sluit men een 
willekeurig klein open segment van h om A uit, dan bestaat een eindig aantal 
dergelijke intervallen, zóó dat elk punt van het overige deel van b, inwendig punt 
van minstens een dezer is (volgens het BoREL’sche theorema), waaruit genoemde 
eigenschap voor de geheele rechte b (uitgezonderd punt A) onmiddellijk volgt. 
