735 
Laat een tak welke van A uitgaat en niet aan a raakt, vertrekken 
op i dan kan men door de lijn /IS van a (fig. 1) vlakken aangeven, 
waarin minstens 2 takken van A op / uitgaan, maar in elk dezer 
vertrekt ook minstens 1 tak op II en IV elk, dus is A gewoon 
dubbelpunt en daar IIS geen nadere laaklijn is, gaan ook op 11 en 
I V takken uit, die niet aan « raken. Hieruit volgt hetzelfde voor 777. 
Draait men dus « om een lijn door A in a BD of CE) uit den 
oorspron/celijken stand, dan blijft A aanvankelijk dubbelpunt. 
Laat nu u om BS draaien, zóó dat het achterste deel naar boven 
gaat. We bewijzen dat er geen laatste stand is met dubbelpunt in 
A en op 7 vertrekkende takken. Stel n.1. dat was het geval voor 
vlak d, waarin de takken AN en AM op I. Zij PQ een lijn door 
A in a binnen /jBAC (fig. 1) en y een vlak voor PQ, zóó dat de 
takken AM en AN naar verschillende zijden uitgaan. In y gaat dan 
van A een tak uit op 7 naar de voorzijde van d- Deze tak raakt 
aan de snijlijn van d en y, daar anders onmogelijk het laatste vlak 
kon zijn met dubbelpunt in A en takken op 7. Daar in y ook een 
tak op III uitgaat, is A dus dubbelpujit in y, terwijl de snijlijn met 
d nadere raaklijn is. Uit het karakter der doorsnede in blijkt echter 
dat deze lijn nog een van A verschillend punt met 7^* gemeen heeft, 
en hiermee is dus een contradicie bereikt 
Niet alle vlakken door BS vertoonen een dubbelpunt in A, want 
de verzamelingen van vlakken waarin 2 takken op I en van die 
waarin 2 op III vertrekken zouden gescheiden zijn door een vlak 
met 1 tak op I en lU elk en dit zouden rechten wezen. In elk 
Eenigszins analoge redeneeringen komen in med. 1 voor, waarnaar we echter 
niet steeds verwijzen, ter voorkoming van verwarring. 
