7.36 
vlak door RS echter komen 2 takken van beneden naar dus is 
er een vlak ^ door RS waarin A is gewoon punt of keerpunt. Stel 
het eerste en laat ^ om RS wejitelen, dan is, vóór « bereikt wordt 
^4 dubbelpunt geworden. De aanname dat geen vlak door RS een 
keerpunt in A vertoont leidt nu tot een onmogelijkheid want bij de 
genoemde wenteling van ^ kan er, volgens het voorgaande, geen 
eei-ste vlak zijn met dubbelpunt in A en dai er geen laatste stand 
kan zijn met gewoon punt in A blijkt uit de redeneering van p. 70, 
laatste alinea, med. 1. 
Er is dus een vlak door RS met keerpunt in A. Zij dit ^ en de 
keerpuntsraaklijn TU. 
In elk vlak ( 7 ^«) door RQ (tig. J), dat niet TU bevat, komen 
2 takken van beneden naar A op // of IV en ook 2 van boven, 
n.1. 1 op / en llf elk, dus is A steeds dubbelpunt. Voor het vlak 
door PQ en TU blijft slechts over de mogelijkheid dat .4 hierin 
keerpunt is met 7 als raaklijn. Hieruit volgt weer dat A dubbeb 
punt is in elk vlak door RS, behalve dat door 7'U. Dit alles is 
direct uit te breiden tot het volgende: 
In elk vlak dat noch BD, noch CE bevat, is A dubbelpunt, behalve 
in de vlakken welke TU bevatten en hierin is A keerpunt met TU 
tot raaklijn. We merken op dat geen rechte door Ax nog 2 andere 
punten van draagt. 
Resteeren te beschouwen de doorsneden in vlakken door BD of 
CE. Bevat zulk een vlak roet 'TU, dan vertoont het blijkbaar een 
niet gedegenereerd ovaal door A. Blijven over de vlakken door 7^ f7 
en een der beide rechten in «. We toonen aan dat in elk van deze 
de doorsïiede geheel gelegen is op de snijlijn met a. Nemen we het 
vlak /? door CE en 'TU. De restdoorsnede (d. i. de doorsnede afge- 
zien van CE) bevat geen van CE verschillende rechte, daar l'U 
alleeji A met F* gemeen heeft en geen derde rechte door A gaat. 
Er kan echter ook geen ovaal zijn dat idet door A gaat, daar geen 
rechte door A nog twee andere punten van F* draagt. Stel nu er 
is een ovaal door A. TU is dan raaklijn in A. Laat de naar boven 
gaande tak AV van dit ovaal (tig. 1) uitgaan op I. Takken die 
van A op I uitgaan vertrekken alle achter het vlak door RS en 
TU. Dit is het geval voor elke lijn RS binnen BAE, waaruit 
we besluiten dat geen tak, welke van A op / uitgaat een half- 
raaklijn in A heeft gelegen buiten 3-vlakshoek A ÜCB. De tak xA V 
kan niet geïsoleerd zijn aan de voorzijde (d. i. de zijde waar 7> ligt) 
van vlak ^ (door CE en 7’f7) en A V hangt dus aan die zijde van 
met xAC samen. Nemen we nu een vlak y door BD, zóó dat^C 
en .4 f7 aan verschillende zijden liggen, dan ligt hierin een tak 
