743 
neeriiig geldt vooi' het vlak door PQen DHP) en de sectoren 1 en 
II verwisselende, ook voor het vlak door PQ en C'jF'. Verder is PQ 
nog te vervangen dooi elk der beide andere rechten in y. Totaal 
zijn dus 15 rechten op te voorschijn gebracht, n.1. 6 door A en 
9 andere. Uit het voorgaande volgt direct dat geen der 3 rechten 
van y nog door andere dan de reeds genoemde, gesneden wordt. 
Ook bewijst men licht dat geen der 15 rechten in eenig vlak meer- 
voudig telt. Het totaal aantal Is dus 15. 
We merken nog op dat elke lijn door A in « of y raaklijn in 
dat punt is en omgekeerd ligt elke raaklijn in « of y. A is dus 
biphmair jrunt, maarbij edk der beide raakvlakken 3 verschillende 
rechten, met P® gemeen heeft. ’) A bleek dubbelpunt te zijn in elk 
vlak dat niet bevat de snijlijn a van a en y. In elk vlak (7^ « of y), 
dat wel door a. gaat, is A keerpunt, want a is daar de eenige lijn 
welke slechts A met P® gemeen heeft, terwijl elke andere nog een 
tweede (maar geen derde) punt van P® draagt. 
Punten als hier beschreven blijven verder weer buiten beschouwing. 
Tweede geral. Het vlak y heeft geen punten met P' gemeen, 
welke niet op PQ liggen. De behandeling is bijna geheel analoog 
aan die van het eerste gevaP). A is weer biplanair punt met « en y 
tot raakvlakken. Er komen 7 rechten voor den dag n.1. de 3 in a, 
PQ en nog 3 gelegen in de vlakken door PQ en elk der eerste 3. 
Van al deze, behalve PQ, bewijst men licht dat ze in geen vlak 
meervoudig tellen. Voor PQ blijven 2 mogelijkheden n.1. enkele en 
drievoudige telling in y. Het totaal aanta.l rechten van P® wordt 
7 resp. 9. In het laatste geval draagt PQ nog een tweede biplanair 
punt van hetzelfde type als A. We laten echter weer onbeslist of 
dit laatste geval zich inderdaad kan voordoen. 
Biplanaire punten als hier beschreven blijven verder weer uitge- 
sloten. Ze zijn tusschenvormen van het direct voorafgaande type en 
die van p. 737.“') 
Derde geval. In y bestaat de doorsnede uit 2 rechten door A, 
1) DH kan niet dubbel teilen in het vlak door PQ., want sector II kon dan niet 
driemaal door vlak y gaan en toch slechts eenmaal het vlak door PQ en DH 
passeeren. 
2) Voor een duidelijke teekening zie taf. III bij het genoemde artikel van Klein. 
Dat HD niet dubbel telt in het vlak door PQ blijkt als men in het oog houdt 
dal elk vlak y) door PQ binnen L F AH een ovaal vertoont dat in A aan a 
raakt. In de vlakken aan de eene zijde van y vertrekken deze ovalen op I, en in 
die aan de andere . zijde van y op JZ, daar men anders in strijd komt met de 
conditie dat een tweedimensionaal continuüm is. 
h Voor derdegraadsoppervlakken vgl. Klein, loc. cit, p. 557. 
48 * 
