745 
aan te toonen : Teil een }‘echte a van in geen vlak dubbel, dan 
heeft elk punt van a, waardoor geen tweede rechte gaat, een raakvlak. 
Verder zijn de ponten van a waardoor wel een tweede (en even- 
tueel een derde) rechte gaat, normaalsnijpunten en deze hebben dus 
ook een raakvlak. 
Stelling 2 van p. 762 (Med. 3) gaat, ook wat het bewijs betreft, 
onveranderd door, zoo we in onze beschouwingen opneinen de 
nor tnaalsnij punten. 
Gaan we nu over tot ined. 4 ([). 1274 — 81). Daar de behandelde 
singulariteiten zijn uitgesloten, geldt stelling 1 (p. 1274) en is zelfs 
uit te breiden tot de volgende : De rechten van F^, tvelke door een 
bepaald, punt gaan, liggen in één vlak. 
Afgezien van het voorkomen van eeii vlak n dat F* snijdt \'olgens 
een dubbel- en een enkeltellende rechte, kan de rest van med. 4 on- 
veranderd blijven (zie echter onder errata). In §2 van med. 4 dringt 
zich hier en daar de vraag op of geen der rechten in eenig vlak 
meervoudig kan tellen. Nu wordt het geval van dubbeltellen eener 
rechte apart behandeld, terwijl voor een F^ zonder de besproken 
singulariteiten, maar met een rechte welke in een vlak drievoudig 
telt, het totale aantal rechten steeds 3 is. 
Behandelen we ten slotte het geval dat F’’ door geen vlak <i 
gesneden wordt volgens een enkeltellende rechte a en een dubbel- 
tellende rechte b. Het normaalsnijpunt A van a en b heeft « tot 
raakvlak. Draait « om a, dan komt volgens p. 738 iiit b een niet 
gedegeneerd restovaal te vooi’schijn, waarvan de snijpunten met a naar 
weerszijden uit A komen en dat in die snijpunten aanvankelijk de 
bolle zijde naar A keert. Blijkbaar kan b niet gesneden worden 
door een niet in a gelegen rechte van F*. Verdere lechlen snijden 
dus alle a. Komen deze voor, dan is liuu aantal minstens 4, waar- 
door het totaal op 7 komt. Zijn er nog meer, dan degenereert het 
restovaal in minstens 4 van <c verschillende vlakken door a en de 
redeneering van p. 1279, tweede alinea (med. 4) laat zien dat 
dan nog rechten zou bevatten welke a. kruisen, wat onmogelijk is. 
Voor een F* waarvan een rechte in een vlak dubbel lelt, stelt het 
totale aantal zich dus op 3 of 7 (men bewijst n.1. licht dat deze 
aantallen niet door meervoudige telling verder zijn op te voeren.) 
dus in B aan b raken, wat onmogelijk is, daar A keerpunt in (3 is. Is de rest- 
kromme een dubbeltellende rechte door B in x, dan kan men door een kleine 
draaiing van 6 om A in /?, het punt B vervangen door 2 snijpunten, wat weer 
een contradictie geeft. 
