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Rt > 0 reA]iiJ<ir, in jeder Halbehene Rt ^ ^ 0 beschriinht ist und 
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die Periode — i besitzt, ist die Thetanullfunktion d^{int). 
n 
Bevor wir eiii al Igeiueinei’es Tlieoreni über die Gleicliuiig (1) formu- 
lieren, scliiekeii wir folgende Verallgeineiiieriing der bekanuteii 
LAPLACESclieii Transformation für den Fall nneigentlicher Integrabilitat 
beim Nnllpnnkt voraus. 
Es sei </ \u) eine für n ^ 0 delinierte reelle oder koinplexe Funktion, 
die in jedeni endliclien Intervall eigentlich integrabel 
im RiEMANNselien Sinne ist. Ferner existiero für 0 ?4, 
“u 
lim ^ (f 7> b) . . . . (a) 
und 
sodass also 
(f) {u)\ dn für = (J 
"o 
(^) 
cc 
(f («) du 
ff (?<) du 
o '.)=« ï 
für ö ^ (7, existiert nnd absolnt konvergiert. Daim nennen wir /(•^) 
die LAPT.ACKscbe Transformierte von (f [u) und bezeiehnen sie knrz 
mit Z> selbst heisse die determinierende Funktion^). f{s) ist 
für o ^ (j^ regidar nnd beliebig oft nnter dem Integralzeicben 
ditferenzierbar, insbesondere ist 
/' (^) 
=J' 
— sa 
e u (f 
(tl) du, 
also 
L (u (f) — — L' (ff), . . . . [ly 
wobei i-ecbts Differentiation nach s- gemeint ist. 
Sind qp (m) und ip [u) zwei Fnnktionen, deren LAPiiACEsche Trans- 
formierte im obigen Sinne existieren, so ist, wenn in dem Faltungs- 
integral der Integrationsweg reell ist: 
L{(f). L(\)t)— L{(f*\p)'‘) ..... . (11) 
b Vgl. N. H. Abel, Sur les fonctioiis génératrices et leurs déterminantes. 
CEuvres complètes, t. II, pp. 67 — 81. 
b Wegen der oben gemachten Vorausselzung (a), dass <p(M) und ^u) in den 
Nullpunkt hineinintegriert werden können, existiert die Faltungsfunktion ^ ^ •]/, da an 
jedem Ende des Integrationsintervalls eine der beiden Eunktioneu beschrankt bleiht • 
