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tung aucli für den Konvergenzbereicli R\ .s ^ /c’ ergibt. Folglich ist 
y {s) — Zr I — ^ + 2 ^ « i 1 . 
\V-Jtt 1 ^Jit J 
Alle Lösungen der InLegralgleickung (1), die eine LAPLACEsche 
Transfonnierte besitzen, sind also in der Gestalt enthalteji : 
ü {cjt) 
ut 
JT 
1 + 2 ^ 
2 vei 
Für c = 0, bzvv. c — — erlialt man die Fmiktionen fO/i .t 
£J 
1 
bzvv. fV , (0// .-T <() in der anf - ti-a)isforniierten Gesialt '). 
Der in c gerade Bestandteil von U (clt) ist 
U,ic/t) = ^\l + 22 
V' jrt I 
e t cQg 2 nc 
I ■ 
Nach der Transforinationsf'ormel der Thetafunktion ') 
ist 
Uq (t' t) 
— c'^ t 
«>, (i c tji jt t ) , 
woinit Theoiein 2 vollstandig bewiesen ist. 
Inlervall a<x<b, wo b beliebig ist, gleichinassig konvergiert iind ’+x} für alle 
endlichen Werte von x stetig ist, so ist 
CO 00 
Jtpix) 2 fn G) dx = 2 J' (,r) dx, 
o o 
vorauggesetzt, dass entweder das Inlegral^ | v|/ (o;) | Z ; f,, {x) \ dx oder die Reihe 
a 
m 
+x); fn{x)\dx konvergiert”. Das Entsprecliende gilt bei uneigenllichem 
Integral mit endlichem Intcgrationsintervall. 
D Vgl. Weierstrass-Schwakz, 1. c. p. 46. 
