783 
Volgens een bekend theorema nadert jPin dit geval tot log 
Wij verkrijgen dns voor t en wanneer tot I nadert, uit (7): 
1) Zie o. a. Lamb, Treatise on Hydrodynamics, p. 170; Gayley, Ellipt. funct., 
Art. 72; Maxwell, Elect. and Magn. II, p. 311 — 316; Dueège, p. 190 e. v., 
speciaal p. 213; Kirchhoff, Vorl. p. 270; etc. Beter dan de afleiding van Durège, 
welke op de LANDEx’sche transformatie berust, is de fraaie afleiding van Kirchhoff. 
Deze laatste berust op de splitsing van den integraal in twee deelen, nl. 
J-l + J , waarbij 8 een kleine grootheid is, maar toch groot wordt 
o o 
ondersteld t. o. v. Maar bij beide afleidingen komt men slechts tot de 
grenswaarde van F. 
Een betere methode is m. i. om uit te gaan van de JACOBi’sche betrekking 
log q' 
F , waarin F betrekking heeft op den integraal met den coniple- 
F - 
mentairen modulus k' = V 1 — k^, en q' een der door Jacobi ingevoerde hulpgroot- 
2 (1 -|- ötc.) 
heden q en g'is. Nu volgt uit de betrekking \/ k' 
vooreerst 
1 
Ï6 
— 
1 + 294-2^'“+ ... 
I + 2 ^' H- 2^'“ -I- 2?'“ + etc. 
1 
, waaruit 
o' = — &'* j 1 4- 4- . . . \ En hieruit volgt: 
^16V2^647 
— —loqq'=:log — — ( — F’ -j k'* -j- . . . 1 . 
2 ^^'14 128 ' 
Verder leidt men gemakkelijk voor F 
= ƒ, 
V I — k'^ sin^ 
door reeksontwikkeling 
ten 
14 1 9 4 F' 41 4 
af F' =-.t{ 1 -1 k'^^ — F* -4 ... j, zoodat uit F = — — ( ——logq j 
2^^4 64 J V,^V 2 
4 1 9 4r 4 41 13 , 4' 
slotte voortvloeit F = \l jF^ ^ -^F* \ p — f J ^ . j , 
of benaderd /''' = |^1 -|- 1 F' ^ (^og ^ ~ J waarvan de limietwaarde blijk- 
4 . 
baar log — , is. 
Wy merken nog op dat de hulpgrootheid q steeds zeer klein blijft. Voor 
k' = 0 is q' = 0, maar voor k' ~ is 5 ' nog slechts 0,043. (ld. voor k en q). 
Op dit feit berust dan ook de enorm sterke convergentie der JACOBi’sche reeksen 
voor de elliptische functies. 
