799 
door een onbegrensde keuzenreeks voortgebrachte teekenreeks ( die der- 
halve in het algemeen een essentieel onaf karakter heeft) heet een element 
der verzameling. De gemeenschappelijke ontstaanswijze van de elementen 
der verzameling M wordt eveneens kortweg aangeduid als de ver- 
zameling M. 
Op dit verzamelingsbegrip berust dan verder de definitie van het 
begrip „wiskundige soort”, dat liet verzamelingsbegrip als bijzonder 
geval omvat. 
In de theorie der cardinaalgetallen is het in de eerste plaats de 
splitsing van het gelijkmachtigheidsbegrip , die op den voorgrond treedt. 
Twee voor de klassieke verzamelingsleer gelijk machtige verzame- 
lingen of soorten kunnen voor de intuitionistische verzamelingsleer 
gelijkmachtig , halfgelijkmachtig, aequivalent, van gelijken omvang, van 
gelijke uitgestrektheid of van gelijk gewicht zijn 6 ). In aansluiting hieraan 
worden onder de voor de klassieke theorie aftelbare verzamelingen 
of soorten door de intuitionistische verzamelingsleer aftelbaar onein- 
dige, aftelbare, telbare, uittelbare, doortelbare en voltelbare verzame- 
lingen resp. soorten onderscheiden. De klassieke cardinaalgetallen 
a en c blijven gehandhaafd, daarentegen vervalt het in de klassieke 
theorie door de verzameling aller functies eener veranderlijke gele- 
verde voorbeeld van een cardinaalgetal j> c. 
In de thans volgende theorie der geordende verzamelingen wordt 
voor de ordening eener soort het bestaan der ordenende relatie 
alleen voor twee willekeurige van elkaar verschillend gebleken ele- 
menten geëischt. Verder wordt o.a. de karakteriseering der ordinaal- 
getallen d en 5 veel ingewikkelder, dan in de klassieke theorie ; die 
van # krijgt den volgenden vorm : 
Als de geordende soort P een zoodanige aftelbaar oneindige, in 
engeren zin overal dichte deelsoort M bevat, dat tusschen twee wille- 
keurige elementen fl ) van P elementen van M liggen, dat de soort der 
vóór een ivillekeurig element p van P liggende elementen van M een 
af scheidbare deelsoort van M is, die hetzij elementloos is hetzij althans 
één aanwijsbaar element bezit, en dat bij elke fundamentaatreeks van 
relaties „na” of „niet na” tot de elementen van M 7 ), die met de 
orde-eigenschap in overeenstemming is, een element van P kan worden 
6 ) Eerst deze begr ipssplitsing heeft mij in staat gesteld, het machtigheidskarakter, 
dat ik in vroegere geschriften slechts voor zekere speciale verzamelingen kon toe- 
laten, uit te breiden tot alle soorten, en zoo in zekeren zin het bestaansrecht van 
de comprehensieve opvatting der soorten te herstellen. 
0 ) d. w. z. tusschen twee willekeurige van elkaar verschillend gebleken elementen. 
7 ) d. w. z. bij elke onbepaald voortgezette reeks van relaties „na" of „niet na" 
tot de in een fundamentaalreeks afgetelde elementen van M. 
